Основные формуль

— Первое начало термодинамики:
$$dQ=dU+dA,$$

где $dQ$ — количество тепла, переданное системе, $dU$ — изменение внутренней энергии системы, $dA$ — работа, совершаемая системой.
— Количество тепла и молярная теплоемкость:
$$dQ=\frac{m}{M}cdT,$$

где $c$ — молярная теплоемкость тела, $dQ$ — количество тепла, сообщение которого изменяет температуру тела с массой $m$ и молярной массой $M$ на $dT$.
— Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме:
$$c_{\mathrm{v}}=\frac{i}{2}R,$$

где $i=n_{\text{пост }}+n_{\text{вр }}+2n_{\text{кол }}-$ сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа.
— Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении:
$$c_{\mathrm{p}}=c_{\mathrm{v}}+R$$
— Молярные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и при постоянном давлении:
$$c_{\mathrm{v}}=\frac{R}{\gamma -1}\text{ и }{c}_{\mathrm{p}}=\frac{\gamma R}{\gamma -1},$$

где $\gamma =c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{v}}$ — отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа).
— Работа, совершаемая газом при изменении его объема:
$$A={\int }_{V_1}^{V_2}pdV.$$
— Внутренняя энергия идеального газа:
$$U=\frac{m}{M}{c}_{\mathrm{v}}T=\frac{m}{M}\frac{RT}{\gamma -1}=\frac{pV}{\gamma -1},$$

где $\gamma =c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{v}}$ — отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа).
— Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе с показателем политропы $n$ :
$$c=\frac{R}{\gamma -1}-\frac{R}{n-1}=\frac{(n-\gamma )R}{(n-1)(\gamma -1)}.$$
— Уравнение политропического процесса для идеального газа с использованием различных параметров:

$$p{V}^n=\mathrm{const},T{V}^{n-1}=\mathrm{const},{\mathrm{Tp}}^{\frac{1-n}{n}}=\mathrm{const}$$

где $n=(c-c_{\mathrm{p}})/(c-c_{\mathrm{v}})$ — показатель политропы.
— Уравнение Пуассона адиабатического процесса для идеального газа с использованием различных параметров:
$$p{V}^{\gamma }=\text{ const },T{V}^{\gamma -1}=\text{ const },T{p}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=\text{ const }$$

Примеры решения задач
2.2.1. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу $A=2,0$ Дж?
Решение.
Количество тепла, получаемое газом при изобарическом нагревании на $\mathrm{\Delta }T$, определяется выражением
$$Q=\frac{m}{M}{c}_{\mathrm{p}}\mathrm{\Delta }T,$$

а работа, совершаемая газом при изобарном процессе равна
$$A=p\mathrm{\Delta }V=\frac{m}{M}R\mathrm{\Delta }T\text{. }$$

Отсюда получаем
$$Q=\frac{c_{\mathrm{p}}}{R}A=\frac{A\gamma }{\gamma -1}.$$

Для двухатомного газа, которым является азот, $\gamma =7/5$ (без учета колебательных степеней свободы молекул), поэтому искомое количество тепла, которое надо сообщить газу, равно $Q=7$ Дж.
Ответ: $Q=\frac{A\gamma }{\gamma -1}=7$ Дж.
2.2.2. Найти молярную массу газа, если при нагревании $m=0,5$ кг этого газа на $\mathrm{\Delta }T=10\mathrm{K}$ изобарически требуется на $\mathrm{\Delta }Q=1,48$ кДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.

Решение.
Количество тепла $Q_1$, требуемое при изобарическом нагревании на $\mathrm{\Delta }T$, равно
$$Q_1=\frac{m}{M}{c}_{\mathrm{p}}\mathrm{\Delta }T.$$

При изохорическом процессе нагревания газа на $\mathrm{\Delta }T$ потребуется количество тепла
$$Q_2=\frac{m}{M}{c}_{\mathrm{v}}\mathrm{\Delta }T\text{. }$$

По условию задачи
$$Q_1-Q_2=\frac{m}{M}(c_{\mathrm{p}}-c_{\mathrm{v}})\mathrm{\Delta }T=\frac{m}{M}R\mathrm{\Delta }T=\mathrm{\Delta }Q,$$

откуда искомая молярная масса газа равна
$$M=\frac{mR\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }Q}.$$

Используя численные условия задачи, получаем $M=28$ г/моль (азот).
Ответ: $M=\frac{mR\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }Q}=28$ г/моль.
2.2.3. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на $\mathrm{\Delta }T=72$ К, сообщив ему количество тепла $Q=1,6$ кДж. Найти приращение его внутренней энергии и показатель адиабаты $\gamma =c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{v}}$.
Решение.
Количество тепла $Q$, требуемое при изобарическом нагревании одного моля газа, равно
$$Q=c_{\mathrm{p}}\mathrm{\Delta }T=\frac{otR\mathrm{\Delta }T}{\gamma -1}$$

откуда
$$\gamma =\frac{Q}{Q-R\mathrm{\Delta }T},$$

а приращение его внутренней энергии определяется выражением
$$\mathrm{\Delta }U=c_{\mathrm{v}}\mathrm{\Delta }T=\frac{R\mathrm{\Delta }T}{\gamma -1}=Q-R\mathrm{\Delta }T.$$

Используя численные условия задачи, получаем $\mathrm{\Delta }U=1$ кДж, $\gamma =1,6$.

Ответ: $\mathrm{\Delta }U=Q-R\mathrm{\Delta }T=1$ кДж, $\gamma =\frac{Q}{Q-R\mathrm{\Delta }T}=1,6$.
2.2.4. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе $p{V}^n=$ const, если показатель адиабаты газа равен $\gamma$. При каких значениях показателя политропы $n$ теплоемкость газа будет отрицательной?
Ренение.
Показатель политропы определяется уравнением
$$n=\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}},$$

решая которое относительно теплоемкости газа $c$, получаем
$$c=\frac{n{c}_{\mathrm{v}}-c_{\mathrm{p}}}{n-1}=\frac{n-\gamma }{n-1}{c}_{\mathrm{v}}.$$

Молярная теплоемкость $c_{\mathrm{v}}$ при постоянном объеме равна
$$c_{\mathrm{v}}=\frac{R}{\gamma -1},$$

поэтому искомая молярная теплоемкость газа имеет вид
$$c=\frac{(n-\gamma )R}{(n-1)(\gamma -1)}.$$

Так как $\gamma$ всегда больше единицы, то условие $c<0$ сводится к неравенству
$$\frac{n-\gamma }{n-1}<0,$$

решение которого имеет вид $1<n<\gamma$ и определяет значения показателя политропы $n$, при которых теплоемкость газа будет отрицательной.
Ответ: $c=\frac{(n-\gamma )R}{(n-1)(\gamma -1)};1<n<\gamma$.
2.2.5. Один моль аргона расширили по политропе с показателем $n=1,5$. При этом температура газа испытала приращение $\mathrm{\Delta }T=-26$ К. Найти:

a) количество полученного газом тепла;
б) работу, совершенную газом.
Решение.

Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе равна
$$c=\frac{(n-\gamma )R}{(n-1)(\gamma -1)}.$$

Для одноатомного газа, каким является инертный газ аргон, молярная теплоемкость при постоянном объеме равна $c_{\mathrm{v}}=3R/2$, а молярная теплоемкость при постоянном давлении определяется выражением $c_{\mathrm{p}}=c_{\mathrm{v}}+R=5R/2$ и, поэтому, $\gamma =c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{v}}=5/3$.

По определению теплоемкости, количество полученного газом тепла $Q$ связано с приращением температуры $\mathrm{\Delta }T$ соотношением
$$Q=c\mathrm{\Delta }T=\frac{(n-\gamma )R\mathrm{\Delta }T}{(n-1)(\gamma -1)}.$$

Работа $A$, совершенная газом, может быть определена из первого закона термодинамики
$$A=Q-\mathrm{\Delta }U=\frac{(n-\gamma )R\mathrm{\Delta }T}{(n-1)(\gamma -1)}-\frac{R\mathrm{\Delta }T}{\gamma -1}=-\frac{R\mathrm{\Delta }T}{n-1}.$$

Используя численные условия задачи, получаем $Q=0,11$ кДж, $A=0,43$ кДж.
Ответ: $Q=\frac{(n-\gamma )R\mathrm{\Delta }T}{(n-1)(\gamma -1)}=0,11$ кДж; $A=-\frac{R\mathrm{\Delta }T}{n-1}=0,43$ кДж.
2.2.6. Идеальный газ, показатель адиабаты которого $\gamma$, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
a) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение процесса в параметрах $T,V$.
Решение.
По условию задачи $dQ=-dU$, поэтому молярная теплоемкость газа равна
$$c=\frac{dQ}{dT}=-\frac{dU}{dT}=-c_{\mathrm{v}}=-\frac{R}{\gamma -1}.$$

Видно, что это процесс с постоянной теплоемкостью, то есть это политропический процесс с показателем политропы
$$n=\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}}=\frac{-c_{\mathrm{v}}-c_{\mathrm{p}}}{-2c_{\mathrm{v}}}=\frac{\gamma +1}{2}$$

и уравнением процесса в виде $T{V}^{n-1}=$ const. После подстановки полученного показателя политропы, получаем
$$T{V}^{\frac{\gamma -1}{2}}=\text{ const . }$$

Ответ: $c=-\frac{R}{\gamma -1};T{V}^{\frac{\gamma -1}{2}}=$ const .
2.2.7. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость при постоянном объеме $c_{\mathrm{v}}$ которого известна. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема $V$, если газ совершает процесс по закону: а) $T=T_0{e}^{\alpha u}$; б) $p=p_0{e}^{\alpha u}$, где $T_0,p_0$ и $\alpha$ — постоянные.
Решение.
Из первого закона термодинамики
$$dQ=dU+dA=\frac{m}{M}{c}_{\mathrm{v}}dT+pdV$$

и определения молярной теплоемкости $c=\frac{M}{m}\frac{dQ}{dT}$, получаем
$$c=c_{\mathrm{v}}+p\frac{M}{m}\frac{dV}{dT}.$$

Найдем производную $dV/dT$.
а) Имеем $dT/dV=\alpha T_0{e}^{\alpha V}=\alpha T$ и, следовательно, $dV/dT=1/\alpha T$. Таким образом, молярная теплоемкость в этом случае определяется выражением
$$c=c_{\mathrm{v}}+\frac{M}{m}\frac{p}{\alpha T},$$

для преобразования которого в функцию от объема $V$ газа, воспользуемся уравнением состояния идеального газа $pV=(\mathrm{m}/M)RT$. В результате получим
$$c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{\alpha V}.$$

б) В заданном уравнении процесса $p=p_0{e}^{\alpha V}$ перейдем, с помощью уравнения состояния идеального газа, к переменным $V$ и $T$. Тогда получим выражение
$$p_{0}V{e}^{\alpha V}=\frac{m}{M}RT,$$

дифференцируя которое по $T$, приходим к соотношению
$$p_0{e}^{\alpha V}\frac{dV}{dT}+p_{0}V\alpha e^{\alpha V}\frac{dV}{dT}=\frac{m}{M}R,$$

откуда
$$\frac{dV}{dT}=\frac{(m/M)R}{p_0{e}^{\alpha V}(1+\alpha V)}=\frac{(m/M)R}{p(1+\alpha V)}.$$

Искомая молярная теплоемкость газа в этом процессе равна
$$c=c_{\mathrm{v}}+p\frac{M}{m}\frac{dV}{dT}=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{1+\alpha V}.$$

Ответ: а) $c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{\alpha V}$;
б) $c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{1+\alpha V}$.