Основные формуль

– Первое начало термодинамики:
\[
d Q=d U+d A,
\]

где $d Q$ – количество тепла, переданное системе, $d U$ – изменение внутренней энергии системы, $d A$ – работа, совершаемая системой.
– Количество тепла и молярная теплоемкость:
\[
d Q=\frac{m}{M} c d T,
\]

где $c$ – молярная теплоемкость тела, $d Q$ – количество тепла, сообщение которого изменяет температуру тела с массой $m$ и молярной массой $M$ на $d T$.
– Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме:
\[
c_{\mathrm{v}}=\frac{i}{2} R,
\]

где $i=n_{\text {пост }}+n_{\text {вр }}+2 n_{\text {кол }}-$ сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа.
– Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении:
\[
c_{\mathrm{p}}=c_{\mathrm{v}}+R
\]
– Молярные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и при постоянном давлении:
\[
c_{\mathrm{v}}=\frac{R}{\gamma-1} \text { и } c_{\mathrm{p}}=\frac{\gamma R}{\gamma-1},
\]

где $\gamma=c_{\mathrm{p}} / c_{\mathrm{v}}$ – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа).
– Работа, совершаемая газом при изменении его объема:
\[
A=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V .
\]
– Внутренняя энергия идеального газа:
\[
U=\frac{m}{M} c_{\mathrm{v}} T=\frac{m}{M} \frac{R T}{\gamma-1}=\frac{p V}{\gamma-1},
\]

где $\gamma=c_{\mathrm{p}} / c_{\mathrm{v}}$ – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа).
– Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе с показателем политропы $n$ :
\[
c=\frac{R}{\gamma-1}-\frac{R}{n-1}=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]
– Уравнение политропического процесса для идеального газа с использованием различных параметров:

\[
p V^{n}=\mathrm{const}, T V^{n-1}=\mathrm{const}, \mathrm{Tp}^{\frac{1-n}{n}}=\mathrm{const}
\]

где $n=\left(c-c_{\mathrm{p}}\right) /\left(c-c_{\mathrm{v}}\right)$ – показатель политропы.
– Уравнение Пуассона адиабатического процесса для идеального газа с использованием различных параметров:
\[
p V^{\gamma}=\text { const }, T V^{\gamma-1}=\text { const }, T p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\text { const }
\]

Примеры решения задач
2.2.1. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу $A=2,0$ Дж?
Решение.
Количество тепла, получаемое газом при изобарическом нагревании на $\Delta T$, определяется выражением
\[
Q=\frac{m}{M} c_{\mathrm{p}} \Delta T,
\]

а работа, совершаемая газом при изобарном процессе равна
\[
A=p \Delta V=\frac{m}{M} R \Delta T \text {. }
\]

Отсюда получаем
\[
Q=\frac{c_{\mathrm{p}}}{R} A=\frac{A \gamma}{\gamma-1} .
\]

Для двухатомного газа, которым является азот, $\gamma=7 / 5$ (без учета колебательных степеней свободы молекул), поэтому искомое количество тепла, которое надо сообщить газу, равно $Q=7$ Дж.
Ответ: $Q=\frac{A \gamma}{\gamma-1}=7$ Дж.
2.2.2. Найти молярную массу газа, если при нагревании $m=0,5$ кг этого газа на $\Delta T=10 \mathrm{~K}$ изобарически требуется на $\Delta Q=1,48$ кДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.

Решение.
Количество тепла $Q_{1}$, требуемое при изобарическом нагревании на $\Delta T$, равно
\[
Q_{1}=\frac{m}{M} c_{\mathrm{p}} \Delta T .
\]

При изохорическом процессе нагревания газа на $\Delta T$ потребуется количество тепла
\[
Q_{2}=\frac{m}{M} c_{\mathrm{v}} \Delta T \text {. }
\]

По условию задачи
\[
Q_{1}-Q_{2}=\frac{m}{M}\left(c_{\mathrm{p}}-c_{\mathrm{v}}\right) \Delta T=\frac{m}{M} R \Delta T=\Delta Q,
\]

откуда искомая молярная масса газа равна
\[
M=\frac{m R \Delta T}{\Delta Q} .
\]

Используя численные условия задачи, получаем $M=28$ г/моль (азот).
Ответ: $M=\frac{m R \Delta T}{\Delta Q}=28$ г/моль.
2.2.3. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на $\Delta T=72$ К, сообщив ему количество тепла $Q=1,6$ кДж. Найти приращение его внутренней энергии и показатель адиабаты $\gamma=c_{\mathrm{p}} / c_{\mathrm{v}}$.
Решение.
Количество тепла $Q$, требуемое при изобарическом нагревании одного моля газа, равно
\[
Q=c_{\mathrm{p}} \Delta T=\frac{
ot R \Delta T}{\gamma-1}
\]

откуда
\[
\gamma=\frac{Q}{Q-R \Delta T},
\]

а приращение его внутренней энергии определяется выражением
\[
\Delta U=c_{\mathrm{v}} \Delta T=\frac{R \Delta T}{\gamma-1}=Q-R \Delta T .
\]

Используя численные условия задачи, получаем $\Delta U=1$ кДж, $\gamma=1,6$.

Ответ: $\Delta U=Q-R \Delta T=1$ кДж, $\gamma=\frac{Q}{Q-R \Delta T}=1,6$.
2.2.4. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе $p V^{n}=$ const, если показатель адиабаты газа равен $\gamma$. При каких значениях показателя политропы $n$ теплоемкость газа будет отрицательной?
Ренение.
Показатель политропы определяется уравнением
\[
n=\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}},
\]

решая которое относительно теплоемкости газа $c$, получаем
\[
c=\frac{n c_{\mathrm{v}}-c_{\mathrm{p}}}{n-1}=\frac{n-\gamma}{n-1} c_{\mathrm{v}} .
\]

Молярная теплоемкость $c_{\mathrm{v}}$ при постоянном объеме равна
\[
c_{\mathrm{v}}=\frac{R}{\gamma-1},
\]

поэтому искомая молярная теплоемкость газа имеет вид
\[
c=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]

Так как $\gamma$ всегда больше единицы, то условие $c<0$ сводится к неравенству
\[
\frac{n-\gamma}{n-1}<0,
\]

решение которого имеет вид $1<n<\gamma$ и определяет значения показателя политропы $n$, при которых теплоемкость газа будет отрицательной.
Ответ: $c=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} ; \quad 1<n<\gamma$.
2.2.5. Один моль аргона расширили по политропе с показателем $n=1,5$. При этом температура газа испытала приращение $\Delta T=-26$ К. Найти:

a) количество полученного газом тепла;
б) работу, совершенную газом.
Решение.

Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе равна
\[
c=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]

Для одноатомного газа, каким является инертный газ аргон, молярная теплоемкость при постоянном объеме равна $c_{\mathrm{v}}=3 R / 2$, а молярная теплоемкость при постоянном давлении определяется выражением $c_{\mathrm{p}}=c_{\mathrm{v}}+R=5 R / 2$ и, поэтому, $\gamma=c_{\mathrm{p}} / c_{\mathrm{v}}=5 / 3$.

По определению теплоемкости, количество полученного газом тепла $Q$ связано с приращением температуры $\Delta T$ соотношением
\[
Q=c \Delta T=\frac{(n-\gamma) R \Delta T}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]

Работа $A$, совершенная газом, может быть определена из первого закона термодинамики
\[
A=Q-\Delta U=\frac{(n-\gamma) R \Delta T}{(n-1)(\gamma-1)}-\frac{R \Delta T}{\gamma-1}=-\frac{R \Delta T}{n-1} .
\]

Используя численные условия задачи, получаем $Q=0,11$ кДж, $A=0,43$ кДж.
Ответ: $Q=\frac{(n-\gamma) R \Delta T}{(n-1)(\gamma-1)}=0,11$ кДж; $A=-\frac{R \Delta T}{n-1}=0,43$ кДж.
2.2.6. Идеальный газ, показатель адиабаты которого $\gamma$, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
a) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение процесса в параметрах $T, V$.
Решение.
По условию задачи $d Q=-d U$, поэтому молярная теплоемкость газа равна
\[
c=\frac{d Q}{d T}=-\frac{d U}{d T}=-c_{\mathrm{v}}=-\frac{R}{\gamma-1} .
\]

Видно, что это процесс с постоянной теплоемкостью, то есть это политропический процесс с показателем политропы
\[
n=\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}}=\frac{-c_{\mathrm{v}}-c_{\mathrm{p}}}{-2 c_{\mathrm{v}}}=\frac{\gamma+1}{2}
\]

и уравнением процесса в виде $T V^{n-1}=$ const. После подстановки полученного показателя политропы, получаем
\[
T V^{\frac{\gamma-1}{2}}=\text { const . }
\]

Ответ: $c=-\frac{R}{\gamma-1} ; \quad T V^{\frac{\gamma-1}{2}}=$ const .
2.2.7. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость при постоянном объеме $c_{\mathrm{v}}$ которого известна. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема $V$, если газ совершает процесс по закону: а) $T=T_{0} e^{\alpha
u}$; б) $p=p_{0} e^{\alpha
u}$, где $T_{0}, p_{0}$ и $\alpha$ – постоянные.
Решение.
Из первого закона термодинамики
\[
d Q=d U+d A=\frac{m}{M} c_{\mathrm{v}} d T+p d V
\]

и определения молярной теплоемкости $c=\frac{M}{m} \frac{d Q}{d T}$, получаем
\[
c=c_{\mathrm{v}}+p \frac{M}{m} \frac{d V}{d T} .
\]

Найдем производную $d V / d T$.
а) Имеем $d T / d V=\alpha T_{0} e^{\alpha V}=\alpha T$ и, следовательно, $d V / d T=1 / \alpha T$. Таким образом, молярная теплоемкость в этом случае определяется выражением
\[
c=c_{\mathrm{v}}+\frac{M}{m} \frac{p}{\alpha T},
\]

для преобразования которого в функцию от объема $V$ газа, воспользуемся уравнением состояния идеального газа $p V=(\mathrm{m} / M) R T$. В результате получим
\[
c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{\alpha V} .
\]

б) В заданном уравнении процесса $p=p_{0} e^{\alpha V}$ перейдем, с помощью уравнения состояния идеального газа, к переменным $V$ и $T$. Тогда получим выражение
\[
p_{0} V e^{\alpha V}=\frac{m}{M} R T,
\]

дифференцируя которое по $T$, приходим к соотношению
\[
p_{0} e^{\alpha V} \frac{d V}{d T}+p_{0} V \alpha e^{\alpha V} \frac{d V}{d T}=\frac{m}{M} R,
\]

откуда
\[
\frac{d V}{d T}=\frac{(m / M) R}{p_{0} e^{\alpha V}(1+\alpha V)}=\frac{(m / M) R}{p(1+\alpha V)} .
\]

Искомая молярная теплоемкость газа в этом процессе равна
\[
c=c_{\mathrm{v}}+p \frac{M}{m} \frac{d V}{d T}=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{1+\alpha V} .
\]

Ответ: а) $c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{\alpha V}$;
б) $c=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{1+\alpha V}$.