Основные формулы
– Изменение длины волны $\Delta \lambda$ фотона при рассеянии его на свободном покоящемся электроне в лабораторной системе отсчета на угол $v$ определяется выражением
\[
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=\lambda_{\mathrm{c}}(1-\cos \vartheta)
\]

где $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ – длины волн фотона до и после рассеяния соответственно, $\lambda_{\mathrm{c}}$ – комптоновская длина волны электрона
\[
\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{2 \pi \hbar}{m c}=2,436 \text { пм, }
\]
$m$ – масса электрона.
– При комптоновском рассеянии закон сохранения энергии имеет вид
\[
\varepsilon=\varepsilon^{\prime}+T,
\]

где $\varepsilon, \varepsilon^{\prime}$ – энергии фотона до и после рассеяния соответственно, $T$ кинетическая энергия электронов отдачи. Если эффект Комптона вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона, то можно пользоваться нерелятивистским выражением для T. В противном случае следует пользоваться формулами релятивистской механики (см., например, (7.1.5)).
Примеры решения задач
7.2.1. Фотон с длиной волны $\lambda=6,0$ пм рассеялся под прямым углом на покоящемся свободном электроне. Найти:
a) частоту рассеянного фотона;

б) кинетическую энергию электрона отдачи.
Решение

При рассеянии фотона под прямым углом $\cos \vartheta=0$ и, согласно формуле (7.2.1) разность длин волн рассеянного и налетающего фотонов равна
\[
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{2 \pi \hbar}{m c} .
\]

С помощью формул (7.1.1.), (7.2.3.) и (1) находим частоту рассеянного фотона
\[
\omega^{\prime}=\frac{2 \pi c}{\lambda^{\prime}}=\frac{2 \pi c}{\lambda+\lambda_{c}},
\]

и кинетическую энергию электрона отдачи
\[
T=2 \pi c \hbar\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda+\lambda_{\mathrm{c}}}\right)=\frac{2 \pi c \hbar \lambda_{\mathrm{c}}}{\lambda\left(\lambda+\lambda_{\mathrm{c}}\right)}
\]

Подставляя численные значения величин, находим $\omega^{\prime}=2,2 \times 10^{20} \mathrm{c}^{-1}$, $T=60$ кэВ.
Ответ: $\omega^{\prime}=\frac{2 \pi c}{\lambda+\lambda_{\mathrm{c}}}=2,2 \times 10^{20} \mathrm{c}^{-1} ; T=\frac{2 \pi c \hbar \lambda_{\mathrm{c}}}{\lambda\left(\lambda+\lambda_{\mathrm{c}}\right)}=60$ кэВ.
7.2.2. Фотон с энергией $\hbar \omega=250$ кэВ рассеялся под углом $v=120^{\circ}$ на первоначально покоящемся свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона.
Решение
Воспользуемся формулой (7.2.1), представив её в виде
\[
\lambda-\lambda^{\prime}=2 \lambda_{\mathrm{c}} \sin ^{2}(\vartheta / 2) \text {. }
\]

С учетом формул (7.1.1), (7.2.2), находим
\[
\frac{1}{\varepsilon^{\prime}}-\frac{1}{\varepsilon}=\frac{2}{m c^{2}} \sin ^{2}(\vartheta / 2),
\]

где $\varepsilon, \varepsilon^{\prime}$ – энергии фотона до и после рассеяния соответственно, $m$ масса электрона, $c$ – скорость света. Выражая энергию рассеянного фотона $\varepsilon^{\prime}$ через его энергию $\varepsilon=\hbar \omega$ до рассеяния и угол $\vartheta$, получаем формулу

\[
\varepsilon^{\prime}=\frac{\hbar \omega}{1+\frac{2 \hbar \omega}{m c^{2}} \sin ^{2}(\vartheta / 2)} .
\]

Подставляя численные значения величин, имеем $\varepsilon^{\prime}=60$ кэВ.
Ответ: $\varepsilon^{\prime}=\frac{\hbar \omega}{1+\frac{2 \hbar \omega}{m c^{2}} \sin ^{2}(\vartheta / 2)}=60$ кэВ.
7.2.3. Фотон рассеялся под углом $\vartheta=120^{\circ}$ на покоящемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию $T=0,45$ МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния.
Решение
Используя формулу (2) предыдущей задачи и учитывая закон сохранения энергии (7.2.3), получаем формулу
\[
\frac{1}{\varepsilon-T}-\frac{1}{\varepsilon}=\frac{2}{m c^{2}} \sin ^{2}(\vartheta / 2),
\]

которая приводит к квадратному уравнению относительно энергии фотона до рассеяния $\varepsilon$
\[
\varepsilon^{2}-\varepsilon T-\frac{m c^{2} T}{2 \sin ^{2}(\vartheta / 2)}=0 .
\]

Интересующий нас положительный корень этого уравнения определяется выражением
\[
\varepsilon=\frac{T}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{2 m c^{2}}{T \sin ^{2}(\vartheta / 2)}}\right) .
\]

Подставляя в это выражение численные значения величин, получаем $\varepsilon=0,68 \mathrm{MэB}$.
Ответ: $\varepsilon=\frac{T}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{2 m c^{2}}{T \sin ^{2}(\vartheta / 2)}}\right)=0,68 \mathrm{M}$ ЭВ.