Основные формулы
– Емкость плоского конденсатора:
\[
C=\varepsilon \varepsilon_{0} S / d
\]
– Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:
\[
W=\frac{1}{2} \sum q_{\mathrm{i}} \varphi_{\mathrm{i}}
\]
– Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением заряда:
\[
W=\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V
\]
– Энергия заряженного конденсатора:
\[
W=q U / 2=q^{2} / 2 C=C U^{2} / 2
\]
– Объемная плотность энергии электрического поля:
\[
w=E \boldsymbol{D} / 2=\varepsilon \varepsilon_{0} E^{2} / 2
\]

Примеры решения задач
3.3.1. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами $d_{1}$ и $d_{2}$ и с проницаемостями $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$. Площадь каждой обкладки равна $S$. Найти:
a) емкость конденсатора;
б) плотность $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно $U$ и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2 .

Решение
Пусть заряд конденсатора равен $q$. Тогда электрическая индукция в нем равна $D=q / S$, а напряженности электрического поля описываются выражениями:
\[
E_{1}=\begin{array}{c}
q \\
\varepsilon_{0} \varepsilon_{1} S
\end{array}, E_{2}=\begin{array}{c}
q \\
\varepsilon_{0} \varepsilon_{2} S
\end{array} .
\]

Разность потенциалов между пластинами равна $U=E_{1} d_{1}+E_{2} d_{2}$. В свою очередь емкость конденсатора есть отношение $q / U$. С учетом (1), имеем:
\[
C=\varepsilon_{0} S /\left(d_{1} / \varepsilon_{1}+d_{2} / \varepsilon_{2}\right)
\]

Поляризованности в слоях найдем при помощи формулы (3.2.3), а поверхностную плотность связанного заряда – при помощи формулы (3.2.4): $\sigma^{\prime}=\varepsilon_{0} U\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) /\left(\varepsilon_{1} d_{2}+\varepsilon_{2} d_{1}\right)$.
Ответ: $C=\varepsilon_{0} S /\left(d_{1} / \varepsilon_{1}+d_{2} / \varepsilon_{2}\right), \sigma^{\prime}=\varepsilon_{0} U\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) /\left(\varepsilon_{1} d_{2}+\varepsilon_{2} d_{1}\right)$.
3.3.2. К источнику с э.д.с. $U$ подключили последовательно два воздушных конденсатора, каждый емкостью $C$. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет через источник?
Решение
Найдем сначала протекший заряд. Заряд конденсатора
до
заполнения диэлектриком равен $q_{1}=C U / 2$, а заряд после заполнения
\[
q_{2}=\begin{array}{c}
\varepsilon C U \\
\varepsilon+1
\end{array} .
\]

Отсюда протекший заряд равен $\Delta q=q_{2}-q_{1}$.
Напряженность поля сначала равна $E_{1}=U / 2 d$, где $d$ – расстояние между пластинами. После введения диэлектрика она становится равной $E_{2}=q_{2} / \varepsilon C d=U /(1+\varepsilon)$. Отсюда
\[
n=\frac{E_{1}}{E_{2}}=\begin{array}{c}
1+\varepsilon \\
2
\end{array} .
\]

Ответ: $n=\frac{1+\varepsilon}{2}, \Delta q=\frac{C U(\varepsilon-1)}{2(\varepsilon+1)}$.

3.3.3. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого равны $a$ и $b$, причем $a<b$, если пространство между обкладками заполнено:
а) однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$,
б) диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния $r$ от центра конденсатора как $\varepsilon=\alpha / r, \alpha$ – постоянная.
Решение
Пусть заряд конденсатора равен $q$. Тогда электрическая индукция внутри равна $D=q / 4 \pi r^{2}$, а напряженность поля $E=D / \varepsilon_{0} \varepsilon(r)$. Разность потенциалов между сферами в свою очередь равна
\[
U=\int_{a}^{b} E d r,
\]

а емкость $C=q / U$. Таким образом для емкости имеем следующее выражение:
\[
C=\frac{4 \pi \varepsilon_{0}}{\int_{a}^{b} \frac{d r}{r^{2} \varepsilon(r)} .}
\]

Проводя интегрирование для случаев а) и б), получим соответствующие емкости.
Ответ: а) $C=4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} a b /(b-a)$, б) $C=4 \pi \alpha \varepsilon_{0} / \ln (b / a)$.
3.3.4. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения $a$ расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно $b$. Найти взаимную емкость проводов $c$ на единицу их длины при условии $b>>a$.
Решение
Пусть линейные плотности заряда проводов равны $\lambda$ и $-\lambda$. Поскольку провода находятся далеко друг от друга, перераспределением зарядов в них под действием взаимного влияния можно пренебречь. Тогда напряженность поля между проводами в плоскости, в которой они расположены легко найти, воспользовавшись формулой (1) задачи 3.1.7. Имеем: $E=\lambda / \pi \varepsilon_{0} r$. Интегрируя это выражение по $r$ в пределах от $a$ до $b$ – $a$, найдем напряжение между проводами: $U=\lambda \ln (b / a-1) / \pi \varepsilon_{0}$. Отсюда с учетом неравенства $b / a \gg 1$, получим емкость на единицу длины:
\[
c=\lambda / U \approx \pi \varepsilon_{0} / \ln (b / a) .
\]

Ответ: $c \approx \pi \varepsilon_{0} / \ln (b / a)$.
3.3.5. Конденсатор емкости $C_{1}$, заряженный до разности потенциалов $U$, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых $C_{2}$ и $C_{3}$. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?
Решение
Вначале заряд первого конденсатора был равен $q=C_{1} U$. После подключения этот заряд перераспределился между конденсаторами таким образом, чтобы напряжения на первом конденсаторе и подключенной батарее были бы одинаковыми. Имеем:
\[
q_{1}+q_{2}=q, \frac{q_{1}}{C_{1}}=\frac{q_{2}\left(C_{2}+C_{3}\right)}{C_{2} C_{3}},
\]

где $q_{1}$ – заряд на первом конденсаторе после подключения, а $q_{2}$ – заряд на подключенной батарее. Решая эти два уравнения, найдем $q_{1}$ и протекший заряд $\Delta q=q-q_{1}$.
Ответ: $\Delta q=U /\left(1 / C_{1}+1 / C_{2}+1 / C_{3}\right)$.
3.3.6. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ и соответствующими зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$. Найти собственную энергию $W_{1}$ и $W_{2}$ каждой оболочки, энергию взаимодействия $W_{12}$ и полную электрическую энергию $W$ системы.
Решение
Поскольку оболочки металлические, потенциал каждой из них постоянен на всей их поверхности. Поэтому формула (3.3.3) для собственной энергии принимает вид: $W=q \varphi / 2$. Отсюда находим собственные энергии:

\[
W_{1}=q_{1}^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} R_{1}, W_{2}=q_{2}^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} R_{2} .
\]

Энергию взаимодействия найдем по формуле (3.3.2). При этом необходимо учесть, что потенциал, создаваемый второй оболочкой в месте нахождения первой равен $q_{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} R_{2}$. Энергия взаимодействия при этом имеет вид: $W_{12}=q_{1} q_{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} R_{2}$. Полная энергия системы равна сумме собственных энергий и энергии взаимодействия $W=W_{1}+W_{2}+W_{12}$.
Ответ: $W_{1}=\frac{q_{1}^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R_{1}}, W_{2}=\frac{q_{2}^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R_{2}}, W_{12}=\frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R_{2}}, W=W_{1}+W_{2}+W_{12}$.
3.3.7. Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Считая диэлектрическую проницаемость равной единице, найти:
a) собственную электрическую энергию шара;
б) отношение энергии $W_{1}$ внутри шара к энергии $W_{2}$ в окружающем пространстве.
Решение
Для определения собственной электрической энергии шара используем формулу (3.3.3). Имеем:
\[
W=\begin{array}{cc}
1 & q \\
2\left(4 \pi R^{3} / 3\right)
\end{array} \int_{0}^{R} 4 \pi r^{2} \varphi(r) d r .
\]

Потенциал $\varphi(r)$ внутри шара описывается формулой (1) задачи 3.1.10. Производя интегрирование, получим: $W=3 q^{2} / 20 \pi \varepsilon_{0} R$.

Энергии поля внутри и вне шара найдем, интегрируя плотности энергии по соответствующим объемам:
\[
W_{1}=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{0}^{R} E_{\mathrm{i}}^{2}(r) 4 \pi r^{2} d r, \quad W_{2}=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{R}^{\infty} E_{\mathrm{e}}^{2}(r) 4 \pi r^{2} d r .
\]

Выражения для $E_{\mathrm{i}}, E_{\mathrm{e}}$ приведены в тексте решения задачи 3.1.10. Произведя интегрирование, найдем отношение: $W_{1} / W_{2}=1 / 5$.
Ответ: а) $W=3 q^{2} / 20 \pi \varepsilon_{0} R$; б) $W_{1} / W_{2}=1 / 5$.

3.3.8. Сферическую оболочку радиуса $R_{1}$, равномерно заряженную зарядом $q$, расширили до радиуса $R_{2}$. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.
Решение
При расширении оболочки внутри сферического слоя с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ исчезает электрическое поле $E(r)=q / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$. Очевидно, работа электрических сил равна энергии, исчезнувшей в этом слое:
\[
A=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{R_{1}}^{R_{2}} E^{2}(r) 4 \pi r^{2} d r=\left(q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}\right)\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right) .
\]

Ответ: $A=\left(q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}\right)\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right)$.
3.3.9. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу поверхности оболочки.
Решение
Согласно формуле (3.2.1) напряженность поля у оболочки равна $E=\sigma / \varepsilon_{0}$. Увеличим радиус оболочки на $d r$. Тогда электрические силы совершат работу $d A=F \cdot 4 \pi r^{2} d r$, где $F$ – искомая сила, приложенная к единице площади оболочки. С другой стороны, эта работа равна энергии электрического поля, заключенной в слое толщины $d r$ :
\[
d W={ }_{2}^{\varepsilon_{0} E^{2}} 4 \pi r^{2} d r .
\]

Приравнивая $d A$ и $d W$, найдем $F=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.

Ответ: $F=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.
3.3.10. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать неизменным:
a) заряд конденсатора $q$;
б) напряжение на конденсаторе $U$ ?

Решение
a) Вначале энергия конденсатора была равна $W_{1}=q^{2} x_{1} / 2 \varepsilon_{0} S$. После увеличения расстояния энергия равна $W_{2}=q^{2} x_{2} / 2 \varepsilon_{0} S$. Совершенная работа равна $A=W_{2}-W_{1}$.
б) Если напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным, то при увеличении расстояния между пластинами через источник протекает заряд

При этом батарея совершает отрицательную работу $A_{1}=-\Delta q U$. Поэтому энергетический баланс в этом случае запишется в виде:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{0} S U^{2} \\
2 x_{1}
\end{array}+A+A_{1}=\begin{array}{c}
\varepsilon_{0} S U^{2} \\
2 x_{2}
\end{array} .
\]

Решая это уравнение, найдем работу $A$ :
\[
A=\begin{array}{c}
\varepsilon_{0} S U^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) . \\
2 x_{1} x_{2}
\end{array} .
\]

Ответ: а) $A=\begin{array}{c}q^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ 2 \varepsilon_{0} S\end{array}$;
б) $A=\begin{array}{c}\varepsilon_{0} S U^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ 2 x_{1} x_{2}\end{array}$