Основные формулы
– Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины:
\[
\eta=\frac{A}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}},
\]
где $A$ – работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл, $Q_{1}$ тепло, получаемое рабочим телом, $Q_{2}$ – отдаваемое тепло.
– Коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла Карно:
\[
\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}},
\]
где $T_{1}$ и $T_{2}$ – температуры нагревателя и холодильника.
– Приращение энтропии системы:
\[
\Delta S \geq \int \frac{d Q}{T} .
\]
– Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов:
\[
T d S=d U+p d V .
\]
– Связь между энтропией и статистическим весом $\Omega$ :
\[
S=k \ln \Omega,
\]
где $k$ – постоянная Больцмана.
– Энтропия идеального газа в расчете на один моль:
\[
\begin{array}{l}
S=c_{\mathrm{v}} \ln T+R \ln V+S_{0}, \\
S=c_{\mathrm{p}} \ln T-R \ln p+S_{0}^{\prime}, \\
S=c_{\mathrm{v}} \ln p+c_{\mathrm{p}} \ln V+S_{0}^{\prime \prime},
\end{array}
\]
где $V$ – объем одного моля газа, $\mathrm{S}_{0}, \mathrm{~S}_{0}^{\prime}, \mathrm{S}_{0}^{\prime \prime}$ – константы.
Примеры решения задач
2.4.1. Водород совершает цикл Карно. Найти к.п.д. цикла, если при адиабатическом расширении:
a) объем газа увеличивается в $n=2$ раза;
б) давление уменьшается в $n=2$ раза.
Решение.
a) При адиабатическом процессе $T V^{\gamma-1}=$ const, то есть $T_{1} V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} V_{2}^{\gamma-1}=T_{2}\left(n V_{1}\right)^{\gamma-1}$, поэтому, $T_{2} / T_{1}=n^{1-\gamma}$ и, следовательно к.п.д. цикла $\eta=1-T_{2} / T_{1}=1-n^{1-\gamma}$. Для молекулярного водорода $\gamma=7 / 5$ и, следовательно, $\eta=0,25$.
б) В этом случае удобно использовать уравнение адиабатического процесса в виде $T p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=$ const. Тогда $T_{1} p_{1}^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=T_{1}\left(n p_{2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=T_{2} p_{2}^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$, поэтому $T_{2} / T_{1}=n^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ и, следовательно к.п.д. цикла Карно $\eta=1-T_{2} / T_{1}=1-n^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=0,18$.
Ответ: а) $\eta=1-n^{1-\gamma}=0,25$; б) $\eta=1-n^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=0,18$.
2.4.2. Найти (в расчете на один моль) приращение энтропии углекислого газа при увеличении его термодинамической температуры в $n=2$ раза, если процесс нагревания: а) изохорический; б) изобарический. Газ считать идеальным.
Решение.
a) Для изохорического процесса удобно воспользоваться следующим выражением для энтропии идеального газа
\[
S=c_{\mathrm{v}} \ln T+R \ln V+S_{0} .
\]
Если начальная температура газа $T_{1}$, а конечная $T_{2}=2 T_{1}$, то приращение энтропии равно
\[
\Delta S=c_{\mathrm{v}} \ln 2 T_{1}-c_{\mathrm{v}} \ln T_{1}=c_{\mathrm{v}} \ln 2=\frac{R}{\gamma-1} \ln 2 .
\]
Следует учесть, что, хотя молекула углекислого газа состоит из трех атомов $\left(\mathrm{CO}_{2}\right)$, она имеет линейную структуру – все ее атомы находятся на одной прямой. Поэтому, для этой молекулы $\gamma=7 / 5$ и, следовательно, $\Delta S=14,4$ Дж/(К$\cdot$моль).
б) Для изобарического процесса удобнее воспользоваться выражением для энтропии
\[
S=c_{\mathrm{p}} \ln T-R \ln p+S_{0}^{\prime},
\]
которое дает для приращения энтропии
\[
\Delta S=c_{\mathrm{p}} \ln 2 T_{1}-c_{\mathrm{p}} \ln T_{1}=c_{\mathrm{p}} \ln 2=\frac{\gamma R}{\gamma-1} \ln 2 .
\]
Используя численное значение для $\gamma=7 / 5$, получаем $\Delta S=20,2$ Дж/(К$\cdot$моль).
Ответ: а) $\Delta S=\frac{R}{\gamma-1} \ln 2=14,4$ Дж/(К$\cdot$моль);
б) $\Delta S=\frac{\gamma R}{\gamma-1} \ln 2=20,2$ Дж/(К$\cdot$моль).
2.4.3. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа увеличивается в $\tau$ раз. Показатель политропы $n$. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.
Решение
Используя уравнение политропического процесса $T V^{n-1}=$ const, получаем
\[
T_{1} V_{1}^{n-1}=T_{2} V_{2}^{n-1}=\tau T_{1} V_{2}^{n-1},
\]
откуда $V_{2} / V_{1}=\tau^{-\frac{1}{n-1}}$. Воспользовавшись следующим выражением для энтропии одного моля идеального газа
\[
S=c_{\mathrm{v}} \ln T+R \ln V+S_{0},
\]
получим искомое приращение энтропии в виде
\[
\Delta S=c_{\mathrm{v}} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}+R \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\left(\frac{R}{\gamma-1}-\frac{R}{n-1}\right) \ln \tau=\frac{R(n-\gamma)}{(\gamma-1)(n-1)} \ln \tau .
\]
Ответ: $\Delta S=\frac{R(n-\gamma)}{(\gamma-1)(n-1)} \ln \tau$.
