Основные формулы

— Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины:
$$\eta =\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1},$$

где $A$ — работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл, $Q_1$ тепло, получаемое рабочим телом, $Q_2$ — отдаваемое тепло.
— Коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла Карно:
$$\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1},$$

где $T_1$ и $T_2$ — температуры нагревателя и холодильника.
— Приращение энтропии системы:
$$\mathrm{\Delta }S\ge \int \frac{dQ}{T}.$$
— Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов:

$$TdS=dU+pdV.$$
— Связь между энтропией и статистическим весом $\mathrm{\Omega }$ :
$$S=k\ln \mathrm{\Omega },$$

где $k$ — постоянная Больцмана.
— Энтропия идеального газа в расчете на один моль:
$$\begin{array}{l}S=c_{\mathrm{v}}\ln T+R\ln V+S_0,\\ S=c_{\mathrm{p}}\ln T-R\ln p+S_0^{\prime },\\ S=c_{\mathrm{v}}\ln p+c_{\mathrm{p}}\ln V+S_0^{\prime \prime },\end{array}$$

где $V$ — объем одного моля газа, ${\mathrm{S}}_0,{\mathrm{S}}_0^{\prime },{\mathrm{S}}_0^{\prime \prime }$ — константы.
Примеры решения задач
2.4.1. Водород совершает цикл Карно. Найти к.п.д. цикла, если при адиабатическом расширении:
a) объем газа увеличивается в $n=2$ раза;
б) давление уменьшается в $n=2$ раза.
Решение.
a) При адиабатическом процессе $T{V}^{\gamma -1}=$ const, то есть $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}=T_2{\left(n{V}_1\right)}^{\gamma -1}$, поэтому, $T_2/T_1=n^{1-\gamma }$ и, следовательно к.п.д. цикла $\eta =1-T_2/T_1=1-n^{1-\gamma }$. Для молекулярного водорода $\gamma =7/5$ и, следовательно, $\eta =0,25$.
б) В этом случае удобно использовать уравнение адиабатического процесса в виде $T{p}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=$ const. Тогда $T_1{p}_1^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=T_1{\left(n{p}_2\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=T_2{p}_2^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}$, поэтому $T_2/T_1=n^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}$ и, следовательно к.п.д. цикла Карно $\eta =1-T_2/T_1=1-n^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=0,18$.
Ответ: а) $\eta =1-n^{1-\gamma }=0,25$; б) $\eta =1-n^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=0,18$.
2.4.2. Найти (в расчете на один моль) приращение энтропии углекислого газа при увеличении его термодинамической температуры в $n=2$ раза, если процесс нагревания: а) изохорический; б) изобарический. Газ считать идеальным.
Решение.
a) Для изохорического процесса удобно воспользоваться следующим выражением для энтропии идеального газа
$$S=c_{\mathrm{v}}\ln T+R\ln V+S_0.$$

Если начальная температура газа $T_1$, а конечная $T_2=2T_1$, то приращение энтропии равно
$$\mathrm{\Delta }S=c_{\mathrm{v}}\ln 2T_1-c_{\mathrm{v}}\ln T_1=c_{\mathrm{v}}\ln 2=\frac{R}{\gamma -1}\ln 2.$$

Следует учесть, что, хотя молекула углекислого газа состоит из трех атомов $\left({\mathrm{CO}}_2\right)$, она имеет линейную структуру — все ее атомы находятся на одной прямой. Поэтому, для этой молекулы $\gamma =7/5$ и, следовательно, $\mathrm{\Delta }S=14,4$ Дж/(К$\cdot$моль).
б) Для изобарического процесса удобнее воспользоваться выражением для энтропии
$$S=c_{\mathrm{p}}\ln T-R\ln p+S_0^{\prime },$$

которое дает для приращения энтропии
$$\mathrm{\Delta }S=c_{\mathrm{p}}\ln 2T_1-c_{\mathrm{p}}\ln T_1=c_{\mathrm{p}}\ln 2=\frac{\gamma R}{\gamma -1}\ln 2.$$

Используя численное значение для $\gamma =7/5$, получаем $\mathrm{\Delta }S=20,2$ Дж/(К$\cdot$моль).
Ответ: а) $\mathrm{\Delta }S=\frac{R}{\gamma -1}\ln 2=14,4$ Дж/(К$\cdot$моль);
б) $\mathrm{\Delta }S=\frac{\gamma R}{\gamma -1}\ln 2=20,2$ Дж/(К$\cdot$моль).
2.4.3. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа увеличивается в $\tau$ раз. Показатель политропы $n$. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.

Решение
Используя уравнение политропического процесса $T{V}^{n-1}=$ const, получаем
$$T_1{V}_1^{n-1}=T_2{V}_2^{n-1}=\tau T_1{V}_2^{n-1},$$

откуда $V_2/V_1={\tau }^{-\frac{1}{n-1}}$. Воспользовавшись следующим выражением для энтропии одного моля идеального газа
$$S=c_{\mathrm{v}}\ln T+R\ln V+S_0,$$

получим искомое приращение энтропии в виде
$$\mathrm{\Delta }S=c_{\mathrm{v}}\ln \frac{T_2}{T_1}+R\ln \frac{V_2}{V_1}=(\frac{R}{\gamma -1}-\frac{R}{n-1})\ln \tau =\frac{R(n-\gamma )}{(\gamma -1)(n-1)}\ln \tau .$$

Ответ: $\mathrm{\Delta }S=\frac{R(n-\gamma )}{(\gamma -1)(n-1)}\ln \tau$.