Основные формуль
– Формула де Бройля, выражающая связь длины волны $\lambda$ с модулем импульса $р$ движущейся частицы, имеет вид
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{p} .
\]
– Импульс частицы в нерелятивистском приближении
\[
\mathrm{p}=m \mathrm{v},
\]

где $m$ – масса частицы, v’ – её скорость, а в релятивистском случае
\[
\mathrm{p}=\frac{m \mathrm{v}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где $c$ – скорость света.
– Связь длины волны де Бройля $\lambda$ с кинетической энергией $T$ частицы, в нерелятивистском приближении, определяется выражением
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m T}},
\]

а в релятивистском случае
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar c}{\sqrt{T\left(T+2 m c^{2}\right)}} .
\]

Примеры решения задач
7.3.1. Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на рис.7.2. Левее барьера, высота которого $U=15$ эВ, кинетическая энергия частицы $T=20$ эВ. Во сколько раз и как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер?
Решение
Поскольку кинетическая энергия частицы по условию задачи мала по сравнению с энергией покоя (для легчайшей из частиц – электрона $m c^{2} \cong 0,51 \mathrm{M}$ Э), то в данном случае можно воспользоваться формулами нерелятивистской механики. Из закона сохранения энергии
\[
T=\frac{p^{2}}{2 m}+U(x)
\]

следует, что модуль импульса частицы, как функция её координаты $x$, определяется выражением
\[
p(x)=\sqrt{2 m(T-U(x))} .
\]

Подставляя это выражение в формулу (7.3.1), получаем выражение для дебройлевской длины волны частицы в различных областях пространства
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m(T-U(x))}} .
\]

Как видно из этого выражения, величина $\lambda$ зависит от значения потенциала в данной пространственной точке. В области, где $U(x)=0$ (слева от барьера)
\[
\lambda_{1}=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m T}} .
\]

Справа от барьера, где потенциал имеет заданное значение $U$ $=15$ эВ, длина волны равна
\[
\lambda_{2}=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m(T-U)}} .
\]

Таким образом, при прохождении барьера длина волны частицы возрастает в $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\sqrt{\frac{T}{T-U}}$ раз. Подставляя численные значения $T$ и $U$, находим $\lambda_{2} / \lambda_{1}=2$.
Ответ: длина волны возрастает в $\sqrt{\frac{T}{T-U}}=2$ раза.
7.3.2. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра масс.

Решение
С помощью формул (7.3.1), (7.3.2) находим скорости частиц $v_{1}$ и $v_{2}$ в лабораторной системе отсчета по их дебройлевским длинам волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$
\[
\mathrm{v}_{1}=\frac{2 \pi \hbar}{m \lambda_{1}} \mathrm{n}_{1}, \quad \mathrm{v}_{2}=\frac{2 \pi \hbar}{m \lambda_{2}} \mathrm{n}_{2},
\]

где $\mathrm{n}_{1}$ и $\mathrm{n}_{2}$ – единичные векторы в направлениях движений первой и второй частиц соответственно в лабораторной системе отсчета, $m$ – масса частиц. Скорость центра масс частиц определяется формулой
\[
\mathrm{v}_{0}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{v}_{1}+\mathrm{v}_{2}\right) .
\]

Модули импульсов частиц в системе центра масс равны, поэтому согласно формуле (7.3.1) и дебройлевские длины волн частиц в системе центра масс равны. Следовательно, нам достаточно найти модуль импульса одной из частиц (например, первой) в системе центра масс. Скорость первой частицы в системе центра масс определяется выражением
\[
\mathrm{v}_{1}^{\prime}=\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{0}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{2}\right) .
\]

Интересующий нас модуль импульса частицы в системе центра масс с учётом формул (1) и ортогональности единичных векторов $n_{1}$ и $n_{2}$ равен
\[
p^{\prime}=\frac{\pi \hbar}{\lambda_{1} \lambda_{2}} \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}} .
\]

Таким образом, дебройлевские длины волн каждой из частиц в системе их центра масс определяются выражением
\[
\lambda^{\prime}=\frac{2 \lambda_{1} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}} .
\]

Ответ: $\lambda^{\prime}=\frac{2 \lambda_{1} \lambda_{2}}{\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}}$.
7.3.3. Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины $b=1$ мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстоянии $l=50 \mathrm{~cm}$, ширина центрального дифракционного максимума $\Delta x=0,36$ мм .

Решение
Угловые положения дифракционных минимумов, расположенных по обе стороны от центрального максимума, определяются формулой
\[
b \sin \varphi= \pm \lambda,
\]

где $\lambda$ – дебройлевская длина волны электронов, падающих на диафрагму. Учитывая, что по условию задачи угол $\varphi$ мал, для угловой ширины центрального максимума $\Delta \varphi$ имеем приближенное выражение
\[
\Delta \varphi \cong \frac{2 \lambda}{b} \text {. }
\]

Кроме того, учтём, что для малых $\Delta \varphi$ имеет место соотношение $\Delta x \cong l \Delta \varphi$. В результате получаем приближенную формулу, связывающую линейные размеры центрального дифракционного максимума на экране $\Delta x$, ширину щели $b$, расстояние $l$ от щели до экрана и дебройлевскую длину волны электронов $\lambda$
\[
\Delta x b \cong 2 \lambda l .
\]

Используя формулы (7.3.1) и (7.3.2) находим модуль скорости падающих электронов
\[
v \cong \frac{4 \pi \hbar l}{m b \Delta x},
\]

где $m$ – масса электрона. Подставляя численные значения величин, получаем $v \cong 2 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
Ответ: $v \cong \frac{4 \pi \hbar l}{m b \Delta x}=2 \times 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.