§ 7. Теорема о ранге матрицы

Пусть

-произвольная матрица, имеющая строк и столбцов.

Определение. Рангом матрицы А называется наибольшее такое число , что в матрице А содержится невырождающаяся матрица порядка .

Матрица, состоящая из одних нулей, и только такая матрица имеет ранг 0. Матрица имеет тогда и только тогда ранг 1, когда среди ее элементов имеются отличные от нуля и когда в то же время всякие две ее строки и всякие два ее столбца пропорциональны между собою. Далеко идущим обобщением последнего утверждения являются следующая

Теорема 11 (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы А является наибольшим таким числом , что в матрице А имеется строк ( столбцов), образующих линейно независимую систему.

Из этой теоремы, в частности, следует, что максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых - факт замечательный и неожиданный.

Доказательство теоремы о ранге матрицы. Пусть ранг матрицы А равен . Требуется доказать, что в матрице А имеется столбцов (строк), образующих линейно независимую систему, и что всякие столбцов (строк) образуют линейно зависимую систему. Доказательство для строк и столбцов одно и то же, проведем его для столбцов.

Раз ранг матрицы равен , то в ней имеется минор P с отличным от нуля детерминантом. Не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что этот минор P является угловым:

Так как , то векторы

(столбцы минора ) линейно независимы, и подавно линейно независимы векторы

(столбцы матрицы ).

В самом деле, если бы существовало линейное соотношение

то это значило бы, что при любом имело бы место

В частности, соотношения (1) выполнены при , т. е.

что, ввиду независимости векторов , означает, что коэффициенты , все равны нулю.

Итак, во всякой матрице А ранга имеется линейно независимая система, состоящая из столбцов. Первое утверждение теоремы доказано.

Переходим к доказательству второго утверждения: всякие столбцов матрицы А (ранга ) линейно зависимы. Предполагаем снова, что отличен от нуля детерминант углового минора порядка матрицы А. Вспомним, что среди векторов, являющихся линейными комбинациями данных векторов, нельзя найти более линейно независимых; поэтому достаточно доказать, что каждый столбец

матрицы А является линейной комбинацией первых столбцов:

Разумеется, при доказательстве этого утверждения можно предположить .

Взяв любое , построим детерминант

и. докажем прежде всего, что при любом i он равен нулю. В самом деле, если , то этот детерминант имеет две одинаковые строки — на месте — и поэтому равен нулю.

Если же , то есть детерминант некоторого минора ( порядка матрицы А, и он равен нулю, так как ранг матрицы А по предположению есть . Итак, при любом .

Разложим детерминант по элементам последней строки. Коэффициенты этого разложения суть адъюнкты элементов строки детерминанта , а именно:

наконец,

— адъюнкта последнего элемента строке.

Существенно, что эти коэффициенты не зависят от , поэтому их и можно было обозначать через . Мы имеем

Эти соотношения, написанные для всех , выражают равенство

в котором заведомо коэффициент отличен от нуля и которое поэтому можно разрешить относительно :

Мы представили произвольный столбец матрицы в виде линейной комбинации первых столбцов этой матрицы и этим закончили доказательство теоремы о ранге матрицы.

Замечание. Из приведенного доказательства следует, что при подсчете ранга матрицы можно, найдя некоторый не равный нулю детерминант, перебирать лишь «окаймляющие» его детерминанты.