Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Ортогональность. Ортонормальный базис.

Два вектора эвклидова пространства называются ортогональными (или перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Легко видеть, что попарно-ортогональные ненулевые векторы всегда линейно-независимы. Действительно, пусть — попарно-ортогональные ненулевые векторы, и пусть

По свойству скалярного произведения откуда Таким же образом доказывается, что Следовательно, линейно-независимы.

Из доказанного следует, что в -мерном пространстве может существовать не более попарно-ортогональных ненулевых векторов, и каждая совокупность из попарно-ортогональных векторов образует базис пространства. Если, кроме того, длины всех попарно-ортогональных векторов равны единице, то образованный ими базис называется ортонормальным.

Нетрудно доказать, но мы на этом не будем останавливаться, что в эвклидовом пространстве существуют ортонормальные базисы и их даже бесконечно много. Более того, если в пространстве выбрано некоторое подпространство Р, то ортонормальный базис подпространства можно дополнить посредством присоединения нескольких векторов до ортонормального базиса всего пространства.

Векторы в эвклидовом пространстве удобнее всего задавать координатами в каком-либо ортонормальном базисе, так как в этом случае получается особенно простое выражение для скалярного произведения. Действительно, если вектор X имеет координаты в ортонормальном базисе — координаты

то по свойству скалярного произведения

так как при любом В частности,

Таким образом, длина вектора и скалярное произведение выражаются через координаты ортонормального базиса по тем же формулам, что и в пространстве строк.

Переход от одной из моделей эвклидова пространства — пространства строк — к общему аксиоматически определенному эвклидову пространству не влечет за собой никаких осложнений, но только расширяет область приложения теории.

Рассмотрим еще вопрос об ортогональном проектировании векторов на подпространство. Пусть некоторое -мерное эвклидово пространство и — его -мерное подпространство. Пусть, далее, — ортонормальный базис включающий ортонормальный базис подпространства . Подпространство натянутое на векторы называется ортогонально-дополнительным к подпространству . Его размерность равна . Ортогонально-дополнительное подпространство может быть охарактеризовано как совокупность всех векторов, ортогональных ко всем векторам подпространства .

Любой вектор принадлежащий может быть однозначно представлен в виде суммы векторов X и Y, из которых один принадлежит подпространству другой — подпространству Это ясно из возможности и однозначности представления вектора в виде

так что

Вектор X называется ортогональной проекцией вектора на .

Унитарное пространство. Понятия длины вектора и скалярного произведения векторов могут быть определены и в комплексном пространстве. В основу по прежнему кладется понятие скалярного умножения, которое определяется следующим образом. Каждой паре X и Y векторов комплексного пространства сопоставляется комплексное (не обязательно действительное) число, называемое их скалярным произведением . Действие скалярного умножения должно удовлетворять следующим аксиомам:

действительное и положительное при

Здесь штрих означает переход к комплексно-сопряженному числу.

при любом комплексном с.

(распределительный закон).

В пространстве строк с комплексными элементами за скалярное произведение векторов можно принять число . Легко проверить, что при таком определении все аксиомы выполнены.

За длину вектора принимают число Понятие угла между векторами не определяется.

Комплексное линейное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам называется унитарным пространством.

1
Оглавление
email@scask.ru