Ортогональность. Ортонормальный базис.

Два вектора эвклидова пространства называются ортогональными (или перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Легко видеть, что попарно-ортогональные ненулевые векторы всегда линейно-независимы. Действительно, пусть — попарно-ортогональные ненулевые векторы, и пусть

По свойству скалярного произведения откуда Таким же образом доказывается, что Следовательно, линейно-независимы.

Из доказанного следует, что в -мерном пространстве может существовать не более попарно-ортогональных ненулевых векторов, и каждая совокупность из попарно-ортогональных векторов образует базис пространства. Если, кроме того, длины всех попарно-ортогональных векторов равны единице, то образованный ими базис называется ортонормальным.

Нетрудно доказать, но мы на этом не будем останавливаться, что в эвклидовом пространстве существуют ортонормальные базисы и их даже бесконечно много. Более того, если в пространстве выбрано некоторое подпространство Р, то ортонормальный базис подпространства можно дополнить посредством присоединения нескольких векторов до ортонормального базиса всего пространства.

Векторы в эвклидовом пространстве удобнее всего задавать координатами в каком-либо ортонормальном базисе, так как в этом случае получается особенно простое выражение для скалярного произведения. Действительно, если вектор X имеет координаты в ортонормальном базисе — координаты

то по свойству скалярного произведения

так как при любом В частности,

Таким образом, длина вектора и скалярное произведение выражаются через координаты ортонормального базиса по тем же формулам, что и в пространстве строк.

Переход от одной из моделей эвклидова пространства — пространства строк — к общему аксиоматически определенному эвклидову пространству не влечет за собой никаких осложнений, но только расширяет область приложения теории.

Рассмотрим еще вопрос об ортогональном проектировании векторов на подпространство. Пусть некоторое -мерное эвклидово пространство и — его -мерное подпространство. Пусть, далее, — ортонормальный базис включающий ортонормальный базис подпространства . Подпространство натянутое на векторы называется ортогонально-дополнительным к подпространству . Его размерность равна . Ортогонально-дополнительное подпространство может быть охарактеризовано как совокупность всех векторов, ортогональных ко всем векторам подпространства .

Любой вектор принадлежащий может быть однозначно представлен в виде суммы векторов X и Y, из которых один принадлежит подпространству другой — подпространству Это ясно из возможности и однозначности представления вектора в виде

так что

Вектор X называется ортогональной проекцией вектора на .

Унитарное пространство. Понятия длины вектора и скалярного произведения векторов могут быть определены и в комплексном пространстве. В основу по прежнему кладется понятие скалярного умножения, которое определяется следующим образом. Каждой паре X и Y векторов комплексного пространства сопоставляется комплексное (не обязательно действительное) число, называемое их скалярным произведением . Действие скалярного умножения должно удовлетворять следующим аксиомам:

действительное и положительное при

Здесь штрих означает переход к комплексно-сопряженному числу.

при любом комплексном с.

(распределительный закон).

В пространстве строк с комплексными элементами за скалярное произведение векторов можно принять число . Легко проверить, что при таком определении все аксиомы выполнены.

За длину вектора принимают число Понятие угла между векторами не определяется.

Комплексное линейное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам называется унитарным пространством.