§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Определение и простейшие свойства.
Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.
Квадратичная форма от
переменных
состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:
Пары подобных членов
записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.
Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных
через X — строку
т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда
Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.
В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные
принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности)
порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.
Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных
имеющей непрерывные частные производные до
порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка
давала максимум или минимум функции
является равенство нулю частных производных
порядка в точке
Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения
и к и рассмотрим соответствующее приращение функции
Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме
где
— значения вторых производных
вычисленные в точке
Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях
и к (кроме
), то функция
имеет минимум в точке
если отрицательна, то — максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.
Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.
В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.
В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.
Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Пусть
, где А — симметричная матрица из коэффициентов формы, X — столбец из переменных.
Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно
. Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X — столбец из новых переменных. Тогда
и, следовательно,
так что матрицей преобразованной квадратичной формы является
Матрица
автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.