§ 3. Максимум и минимум функций

Определение максимума. Функция в точке имеет максимум (maximum), если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала,

содержащего точку Иначе говоря, функция имеет максимум при если при любых (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.

Так, например, функция график которой изображен на рис. 100, имеет максимум при

Определение минимума. Функция имеет минимум (minimum) при если

при любых как положительных, так и отрицательных, — достаточно малых по абсолютной величине (рис. 100).

Например, функция рассмотренная в конце предыдущего параграфа (см. рис. 99), при имеет минимум, так как при при других значениях х.

Рис. 100.

Рис. 101.

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

2. Не следует думать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Так, на рис. 101 изображена функция, определенная на отрезке которая

но минимум функции при больше максимума функции при . При значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке.

Максимумы и минимумы функции называют экстремумами или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е.

Доказательство. Предположим для определенности, что в точке функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях имеет место Но в таком случае знак отношения

определяется знаком а именно:

Согласно определению производной имеем

Если имеет производную при то предел, стоящий справа, не зависит от того, как стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).

Но если оставаясь отрицательным, то Если же оставаясь положительным, то

Так как есть определенное число, не зависящее от способа стремления к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если

Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.

Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция имеет производную, то касательная к кривой y = f(x) в этих точках параллельна оси Ох.

Действительно, из того, что , где между касательной и осью следует, что (рис. 100).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум. Так, на рис. 100 изображена функция, у которой при производная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Точно так же функция при имеет производную, равную нулю:

но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка к точке О, всегда при

Рис. 102.

Рис. 103.

Рис. 104.

Рис. 105.

Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех точках, где производная не существует? Мы покажем на примерах, что в таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

Пример 1. Функция не имеет производной в точке этой точке кривая не имеет рпределенной касательной), но в этой точке данная функция имеет минимум: при тогда как для всякой точки отличной от нуля, имеем у > 0 (рис. 103).

Пример 2. Функция Не имеет производной при так как обращается в бесконечность при , но в этой точке функция имеет максимум: при отличном от нуля (рис. 104).

Пример 3. Функция не имеет производной при при . В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует.

Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв.

Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.

Исследование функции в критических точках опирается на следующие теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом,

то в точке функция имеет максимум;

то в точке функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений достаточно близких к т. е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки

Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, , что для всех достаточно

близких к точке имеем

Применяя теорему Лагранжа к разности получим

где - точка, лежащая между

1) Пусть тогда

и, следовательно,

или

2) Пусть тогда

и, следовательно,

или

Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений достаточно близких к значения функции меньше, чем значения функции в точке Следовательно, в точке функция имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Рис. 106 наглядно иллюстрирует смысл теоремы 2.

Рис. 106.

Пусть в точке имеем и для всех достаточно близких к точке выполняются неравенства

Тогда при касательная к кривой образует с осью острый угол — функция возрастает, а при касательная образует с осью тупой угол — функция убывает; при функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. имеет максимум.

Если в точке имеем и для всех значений достаточно близких к точке выполняются неравенства

то при касательная к кривой образует с осью тупой угол — функция убывает, а при касательная к кривой образует с осью острый угол — функция возрастает. При функция переходит от убывания к возрастанию, т. е. имеет минимум.

Если при имеем и для всех значений к, достаточно близких к выполняются неравенства

то функция возрастает как при так и при Следовательно, при функция не имеет ни максимума, ни минимума. Именно такой случай имеет место для функции при

Действительно, производная следовательно,

а это значит, что при х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума (см. выше рис. 102).