Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 1.2. Операции над множествами
Для множеств
можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают
свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам операций сложения
и умножения чисел.
Пусть даны два
произвольных множества 
и 
. Суммой или объединением
множеств и
называется
множество 
,
состоящее из элементов множеств и ; при этом пишут: 
или 
(рис. 1). Легко видеть, что
.
Рис. 1
Произведением
или пересечением множеств и называется множество, состоящее из
элементов, одновременно принадлежащим множеству и множеству . Пересечение множеств
обозначается через 
или
(рис. 2).
Очевидно, что 
.
Рис.2
Если 
, то говорят, что
множества и
не
пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что 1)
, 2) 
, 3)
, 4) 
. Докажем, например,
2) Если 
, то,
согласно определению произведения, 
и 
. Из определения суммы
следует, что 
или
. Пусть для
определенности .
Тогда 
, а
следовательно, 
.
Значит, 
.
Если теперь элемент , то выполняется по крайней мере одно из
соотношений ,
, для
определенности пусть . Тогда и , т. е. . Отсюда 
. Этим равенство 2) доказано.
Разностью
множеств и
называется
множество 
,
состоящее из элементов , которых нет в .
Заметим, что в
общем случае 
(рис.
3). Но если 
,
то 
(рис.4).
Рис.
3 Рис. 4
Множества с
введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где
нет коэффициентов и степеней.
