§ 2. Арифметическая прогрессия

86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена.

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.

Натуральный ряд чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью , а последовательность нечетных и четных чисел — примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность .

Арифметическая прогрессия при есть монотонная последовательность: если , то прогрессия возрастает, если то прогрессия убывает; при она постоянна. Бесконечные арифметические прогрессии, у которых как последовательности неограниченные, предела не имеют. Они дают пример расходящихся последовательностей.

Пусть последовательность

представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d. Выведем формулу, выражающую общий член прогрессии через ее первый член разность d и номер п. С этой целью заметим, что по определению арифметической прогрессии

и также

Подставим в правую часть последнего равенства вместо его выражение через и d, взятое из предыдущего равенства, получим

Точно так же с помощью равенства

непосредственно следующего из определения прогрессии, получим

Видна закономерность, по которой общий член прогрессии выражается через

Доказательство формулы общего члена (86.1) проведем методом индукции. Мы уже видели, что формула (86.1) верна для (впрочем, достаточно проверить ее справедливость хотя бы для Предположим, что она верна для некоторого , и докажем, что в этом случае она верна и для следующего номера Запишем выражение вытекающее из определения арифметической прогрессии:

Подставим сюда выражение (86.1) для (для формула (86.1) считается верной):

или

но это и есть формула (86.1), записанная уже для номера , которую и требовалось доказать.

Пример 1. Найти члены арифметической прогрессии, у которой

Решение. По формуле (86.1) находим

Пример 2. Найти член арифметической прогрессии, если у нее

Решение. С помощью формулы (86.1) запишем:

Из полученной линейной системы (п. 66) найдем . Отсюда