ЧАСТЬ 3. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА VI. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

§ 45. Кристаллическая решетка. Индексы Миллера

Идеальная кристаллическая решетка образована из тождественных элементарных ячеек. Каждая такая ячейка представляет собой в общем случае косоугольный параллелепипед, построенный на трех векторах: а, Ь, с. Эти векторы можно принять за орты координатных осей. Модули векторов являются периодами идентичности в направлениях соответствующих осей.

Выбор координатных осей, вообще говоря, неоднозначен. Один и тот же кристалл можно представить сложенным из различных элементарных параллелепипедов. Принято выбирать оси наиболее простым способом с учетом симметрии кристалла.

Для аналитического описания геометрических элементов кристалла, т. е. точек, прямых (направлений) и плоскостей, применяется особая символика.

Возьмем точку с координатами х, у, z. В качестве индексов точки принимается совокупность величин , которые заключаются в двойные квадратные скобки:

Обычно имеют в виду точки, расположенные в пределах ячейки, примыкающей к началу координат. В этом случае индексы будут числами, не превышающими .

Так, например, центру кристаллической ячейки соответствуют индексы центру грани, лежащей в плоскости — индексы

Направление в кристалле можно задать с помощью прямой, проходящей через начало координат. Направление такой прямой определяется наименьшими целыми числами , пропорциональными индексам любой точки, через которую проходит прямая:

Числа называются индексами направления и заключаются в одинарные квадратные скобки: Таким образом, направление прямой, проходящей через начало координат и через точку обозначается символом [2 3 6].

Если какое-либо из чисел оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед, а над соответствующим числом. Например, направление, противоположное оси у, обозначается символом [0 1 0].

Положение плоскости в кристалле можно определить, задав отрезки , отсекаемые плоскостью на координатных осях. Однако в случае плоскостей, проходящих через узлы кристаллической решетки, оказывается более удобным задавать положение плоскости с помощью наименьших целых чисел h, k, l, обратных отрезкам

Числа h, k, l носят название индексов Миллера. Записывая символ плоскости, индексы Миллера заключают в круглые скобки: Пусть, например, отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, равны у и 1. Обратными величинами будут 2, и 1. Умножив эти числа на 2, получим индексы Миллера: (4 3 2).

В случае, когда какой-либо отрезок, отсекаемый плоскостью на координатной оси, оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед, а над соответствующим индексом Миллера. Если плоскость параллельна координатной оси, отсекаемый ею отрезок бесконечно велик, так что соответствующий индекс равен нулю.

Заметим, что в случае кубических кристаллов плоскость перпендикулярна к прямой . Для кристаллов других систем это, вообще говоря, не имеет места.

Рис. 45.1,

На рис. 45.1 приведены индексы Миллера для основных плоскостей кубического кристалла (ось х направлена «на нас», ось у — вправо, ось z — вверх),