§ 41. Собственные колебания

Возьмем простейшую систему, в которой возможны механические колебания. Пусть на пружине жесткости к подвешен груз массы т. Рассмотрим вертикальное движение груза, которое будет происходить под действием силы упругости пружины и силы тяжести, если вывести систему из состояния равновесия и предоставить самой себе.

Простейший осциллятор. Будем считать, что масса пружины настолько мала, что ее можно не учитывать при описании колебаний. Поместим начало отсчета на направленной вниз оси х в точку, соответствующую равновесному положению груза (рис. 158). В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину определяемую соотношением

При смещении х груза из положения равновесия проекция действующей на тело со стороны пружины силы упругости равна

в соответствии с законом Гука. Обозначим проекцию ускорения груза а, равную второй производной смешения х по времени, через х. Тогда второй закон Ньютона для груза запишется в виде

С учетом (1) это уравнение переписывается следующим образом:

Введем обозначение

Теперь уравнение движения (3) принимает окончательный вид:

К точно такому же уравнению мы придем, рассматривая малые колебания около положения равновесия самых разных физических систем: математического маятника — материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити (рис. 159а), физического маятника — любого твердого тела, которое может поворачиваться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 1596), крутильного маятника — диска или коромысла, подвешенного на упругой нити (рис. 159б), и т. д.

Рис. 158. Положение равновесия и колебания груза на пружине

Рис. 159. Разные типы осцилляторов: а — простой (математический) маятник; б — физический маятник; в — крутильный маятник (диск на упругой нити)

При этом под х в каждом случае следует понимать соответствующую величину, характеризующую отклонение от равновесия: угол отклонения от вертикали математического или физического маятника, угол закручивания упругого подвеса крутильного маятника и т. д.

Гармонические колебания. Колебания в любой физической системе, описываемые уравнением (5), происходят по синусоидальному закону и называются гармоническими, а любая совершающая такие колебания физическая система — гармоническим осциллятором.

Рис. 160. График гармонического колебания

Решение дифференциального уравнения (5) имеет вид (рис. 160)

где А и а — произвольные постоянные: при любых значениях А и а функция (6) удовлетворяет уравнению (5). Величина А характеризует максимальное отклонение системы от равновесия и называется амплитудой колебаний.

Частота и период. Поскольку косинус — периодическая функция, смещение я: принимает одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, называемые периодом колебаний Т. Наряду с периодом Т для характеристики колебаний используют также обратную величину называемую частотой. Частота измеряется в герцах. Герц (Гц) — частота колебания, период которого равен одной секунде. Величина называется циклической частотой колебаний. Она связана с периодом Т и частотой соотношением

так как период косинуса равен Циклическая частота измеряется в радианах в секунду

Фаза колебаний. Весь аргумент косинуса в (6) называется фазой колебаний, а значение фазы при т. е. постоянная а, — начальной фазой. Фаза измеряется в радианах (рад). Зная амплитуду и фазу колебаний, можно по выражению (6) определить механическое состояние системы.

Начальные условия. Значения амплитуды А и начальной фазы а определяются начальными условиями, т. е. способом возбуждения колебаний. Если, например, груз на пружине отклоняют из

положения равновесия на расстояние и отпускают без толчка, то начальные условия имеют вид

Подставляя эти начальные условия в левую часть (6) при и в получаемое из (6) выражение для скорости

приходим к системе уравнений для определения А и а:

Отсюда следует, что т. е. колебания осциллятора при таком способе возбуждения описываются функцией

Если колебания возбуждают толчком из положения равновесия, мгновенно сообщая грузу начальную скорость что соответствует начальным условиям то для А и а можно получить значения Колебания в этом случае описываются функцией

Изохронность осциллятора. Частота собственных колебаний, в отличие от амплитуды и начальной фазы, не зависит от способа возбуждения, а определяется исключительно свойствами самой системы. В независимости периода колебаний от начальных условий заключается так называемое свойство изохронности гармонического осциллятора.

Убедиться в том, что функция (6) является решением уравнения гармонических колебаний (5), можно непосредственной подстановкой. Но можно это сделать и иначе, воспользовавшись удобным графическим методом изображения колебаний.

Векторные диаграммы. Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса А с угловой скоростью (рис. 161а). Пусть в начальный момент радиус-вектор этой точки образует угол а с осью х. Спроецируем теперь на эту ось радиус-вектор движущейся точки ее скорость и ускорение а. Учитывая, что при равномерном движении точки по окружности ее скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности (рис. 161б), получаем

Мы воспользовались тем, что при движении по окружности модуль скорости связан с радиусом окружности А и угловой скоростью соотношением а модуль ускорения — соотношением

Рис. 161. Связь гармонических колебаний с равномерным движением по окружности

Из формул (10) видно, что проекция ускорения в любой момент времени пропорциональна смещению точно так же как и в уравнении (3) (или

Отсюда следует, что уравнение (5) описывает движение, происходящее по синусоидальному закону (10).

Подчеркнем еще раз, что при гармонических колебаниях любой физической природы, которые происходят по закону (10), частота оказывается зависящей только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. В одной и той же системе могут происходить колебания определенной частоты, которая, например, дается формулами (4), но разной амплитуды. Амплитуда колебаний А и начальная фаза а определяются не свойствами самой системы, а тем способом, каким в системе вызваны колебания. Колебания, происходящие в системе в результате вывода ее из состояния равновесия, после чего система предоставляется самой себе, будем называть собственными колебаниями. В отсутствие трения собственные колебания иногда называют свободными.

Энергетические превращения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие при свободных гармонических колебаниях.

При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося груза и потенциальной энергии системы, которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести. Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения (см. рис. 158) и, следовательно, равна Потенциальная энергия груза в поле тяжести равна .

Выберем для удобства произвольную постоянную С таким образом, чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в положении равновесия:

Тогда и потенциальная энергия системы произвольной точке х выражается формулой

Полная механическая энергия системы при колебаниях остается неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя смещение х и скорость и из (10) в выражение для энергии:

Из этой формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е совпадает с потенциальной энергией в точках наибольшего отклонения от положения равновесия, т. е. при и совпадает с кинетической энергией при прохождении груза через положение равновесия, где его скорость

Рис. 162. Графики смещения, кинетической и потенциальной энергий при гармонических колебаниях

При взаимных превращениях потенциальная и кинетическая энергия совершают гармонические колебания с одинаковой

амплитудой в противофазе друг с другом и с частотой Чтобы убедиться в этом, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий с помощью формул для тригонометрических функций половинного аргумента:

На рис. 162 приведены графики зависимости от времени смещения груза кинетической энергии и потенциальной энергии Штриховыми линиями на этих графиках показаны средние значения кинетической и потенциальной энергии. Эти средние значения равны друг другу и составляют половину полной энергии Е.

Фазовые траектории. Построим фазовые траектории для гармонического осциллятора. Уравнение фазовой траектории представляет собой уравнение закона сохранения энергии:

Разделив обе части уравнения (15) на Е, приводим его к виду

Это уравнение эллипса с полуосями (рис. 163).

Рис. 163. Фазовая траектория гармонического осциллятора

При колебаниях состояние осциллятора изменяется таким образом, что изображающая точка движется по эллипсу по часовой стрелке и совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний . В этом легко убедиться с помощью формул (10), дающих зависимость от времени. Из этих формул, разумеется, можно получить и само уравнение фазовой траектории (16), если исключить из них время. Для этого нужно обе части первой из формул (10) разделить на А, второй — на возвести получившееся в квадрат и сложить, учитывая, что . В результате получим

что совпадает с (16), ибо полную энергию осциллятора Е можно записать в одном из следующих видов:

или

Сопоставим фазовую траекторию осциллятора с графиком потенциальной энергии (рис. 164). На верхней части рисунка изображена потенциальная энергия осциллятора и показаны два значения полной энергии системы На нижней части изображены две фазовые траектории осциллятора, соответствующие колебаниям с такими значениями энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках, где потенциальная энергия становится равной полной энергии, т. е. в точках максимального смещения из положения равновесия.

Рис. 164. Потенциальная энергия и фазовая энергия осциллятора

Рис. 165. Связь фазовой траектории осциллятора с графиками смещения и скорости

Скорость максимальна при прохождении положения равновесия где потенциальная энергия обращается в нуль.

Масштаб графика фазовой траектории по оси произволен и не связан с графиком потенциальной энергии. Удобно масштаб графика выбрать так, чтобы одинаковые отрезки соответствовали единице по оси по оси Тогда при любой амплитуде колебаний А полуоси эллипса на фазовой диаграмме А и будут одинаковы и эллипс превратится в окружность (рис. 165). Точка, изображающая состояние осциллятора, движется по этой окружности по часовой стрелке с постоянной скоростью. Из рис. 165 видна связь движения изображающей точки в фазовой плоскости с временной зависимостью координаты и скорости осциллятора. При построении фазовых диаграмм удобно выбирать масштаб по осям именно таким образом.

• Покажите, что период гармонических колебаний, описываемых формулой (6), связан с их циклической частотой соотношением (7).

• Какими физическими условиями определяются частота, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний гармонического осциллятора?

• Определите значения амплитуды А и начальной фазы а при возбуждении колебаний осциллятора начальным толчком из положения равновесия.

• Докажите, что изображающая точка на фазовой плоскости для гармонического осциллятора описывает эллипс по часовой стрелке. С какой угловой скоростью поворачивается на фазовой плоскости радиус-вектор изображающей точки?

• Как нужно выбрать масштаб по оси ординат фазовой диаграммы, чтобы фазовая траектория гармонического осциллятора превратилась в окружность?

Линейные и нелинейные системы. Среди всех систем, в которых возможны колебания, гармонический осциллятор выделяется рядом замечательных особенностей. Прежде всего, как уже отмечалось, это изохронность колебаний, т. е. независимость их периода от амплитуды (или от полной энергии). Например, на рис. 164 изображающие точки обходят оба эллипса, соответствующие разным значениям энергии осциллятора, за одинаковое время.

Чтобы собственные колебания происходили по гармоническому закону, возвращающая сила должна быть пропорциональна смещению из положения равновесия, а потенциальная энергия — квадрату смещения: Такие колебательные системы называются линейными, так как их поведение описывается линейным дифференциальным уравнением (5) — в уравнение искомая функция и ее производная х входят в первой степени.

Реальные физические системы, как правило, такими свойствами не обладают. Например, при больших деформациях пружина уже не подчиняется закону Гука. Однако во всех системах устойчивому положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. Поэтому поведение потенциальной энергии вблизи этого положения можно аппроксимировать квадратичной зависимостью от смещения. Это значит, что при малых колебаниях вблизи устойчивого равновесия любую систему приближенно можно считать гармоническим осциллятором.

Ранее при обсуждении фазовых диаграмм был рассмотрен маятник в виде материальной точки, подвешенной на легком стержне. Потенциальная энергия маятника при произвольных смещениях из положения равновесия выражалась формулой

или, что то же самое,

При малых значениях аргумента косинус можно приближенно представить в виде

Поэтому при малых формула (17) дает квадратичную зависимость потенциальной энергии от угла отклонения:

Это же выражение немедленно следует из (17а) с учетом того, что при можно положить Такая аппроксимация потенциальной энергии по казана штриховой линией на рис. 166.

Учитывая, что скорость материальной точки на конце стержня может быть записана как для полной энергии при малых смещениях имеем

Рис. 166. Потенциальная энергия математического маятника (сплошная линия) и гармонического осциллятора (штриховая линия)

Сравнивая эту формулу с (15), видим, что при малых отклонениях от вертикали математический маятник, т. е. подвешенный на легком стержне грузик, представляет собой гармонический осциллятор. Период его колебаний не зависит от амплитуды.

Легко написать формулу, выражающую частоту малых собственных колебаний маятника через его параметры. Квадрат частоты собственных колебаний осциллятора, определяемый формулой (4), равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении (15) для полной энергии осциллятора. Такое отношение для математического маятника в соответствии с (19) равно

Для периода собственных колебаний отсюда получаем

Уравнение колебаний системы, энергия которой дается выражением (19), имеет вид (5), где под х следует понимать угол

отклонения от вертикали:

Обратим внимание на то, что период колебаний математического маятника оказался не зависящим от его массы. Так получилось потому, что масса входит множителем в коэффициенты как при так и при в выражении (19) для энергии маятника и сокращается при переходе к (20). Следует, однако, отдавать себе отчет в том, что фактически в выражение для потенциальной энергии входит тяжелая (гравитационная) масса а в выражение для кинетической энергии — инертная масса Поэтому сокращение масс при получении формулы (20) для частоты возможно только при условии их пропорциональности. Таким образом, независимость периода колебаний математического маятника от массы груза, которая с высокой точностью подтверждается на опыте, служит еще одним экспериментальным подтверждением эквивалентности инертной и гравитационной масс.

Ангармонический маятник. При больших амплитудах колебания маятника описываются нелинейным уравнением

Угол отклонения входит в него как аргумент функции синуса. Поскольку при малых углах то (23) в случае малых колебаний переходит в уравнение гармонического осциллятора (22). Описываемые уравнением (23) колебания являются ангармоническими: их период зависит от амплитуды (рт. Приближенная формула для периода ангармонических колебаний маятника имеет вид

где соответствует малым гармоническим колебаниям и дается формулой (21).

• Почему малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия в любых системах можно приближенно считать гармоническими?

• Объясните, почему физическая система, выражение для энергии которой имеет вид (19) или (15), представляет собой гармонический осциллятор.

• Каким образом можно использовать маятник для экспериментальной проверки равенства инертной и гравитационной масс?

• Как получить дифференциальное уравнение (23), описывающее ангармонические колебания математического маятника?