§ 4. Комплексная плоскость

Вся суть аналитической геометрии заключается в том, что, выбрав (скажем, на плоскости) систему координат , мы точки плоскости парами координат этих точек, а линии задаем их уравнениями вида

Однако уже из школьного курса алгебры мы знаем, сколь убогим получается исследование даже уравнений второй степени с одним неизвестным, если при рассмотрении их решений пользоваться лишь вещественными числами. Поэтому неудивительно, что, ограничиваясь в аналитической геометрии вещественными значениями координат, мы не построим гармонической теории, так как будем постоянно натыкаться на досадные исключения, несносные для математика. Единственный радикальный способ их избежать — это допустить в качестве возможных значений координат точек любые комплексные числа.

Мы приходим, таким образом, к следующему построению.

Пусть дана обыкновенная («вещественная») плоскость и произвольная аффинная система координат в ней (см. гл. III). Точку М плоскости мы отождествляем с парой ее координат (что и находит свое выражение в записи , которой мы все время широко пользовались, считая и у произвольными вещественными числами). Теперь мы всякую пару у комплексных чисел также будем считать точкой (комплексной) плоскости, а самые числа у будем называть координатами точки М комплексной плоскости относительно данной системы координат . При этом точку будем называть мнимой точкой плоскости, если хотя бы одна из ее координат есть комплексное число, не являющееся вещественным.

Дальше все идет автоматически. Пара точек данных в определенном порядке ( — первая, - вторая точка), называется вектором, приложенным к точке или закрепленным в этой точке, и обозначается через . Точка М, называется начальной точкой, а точка -конечной точкой (концом) вектора Комплексные числа

называются координатами вектора .

Два вектора и называются равными, если равны их соответственные координаты. Таким образом, множество всех векторов комплексной плоскости распадается на классы равных между собою векторов (любые два вектора одного класса равны между собою, никакие два вектора, принадлежащие к разным классам, не равны между собою).

Эти классы, как раньше (когда мы пользовались только вещественными числами), называются свободными векторами; они обозначаются так:

где — пара координат какого-нибудь (закрепленного) вектора, входящего в данный класс равных между собою векторов.

Таким образом, мы можем сказать: любая пара комплексных чисел определяет, во-первых, точку во-вторых свободный вектор с координатами у. Каждая пара точек определяет свободный вектор с координатами точка и вектор определяют точку — «конец вектора и, приложенного к точке .

Суммой двух векторов называется вектор и произведением вектора на произвольное (комплексное) число X называется вектор

Вектор по-прежнему называется нулевым вектором; вектор называется вектором, противоположным вектору .

Понятия линейной зависимости и линейной независимости вводятся для векторов с комплексными координатами совершенно так же, как раньше, только, разумеется, в качестве коэффициентов в линейных комбинациях векторов теперь допускаются любые комплексные числа. При этом все алгебраические теоремы о линейной независимости, составляющие содержание § 5 главы II, сохраняют свою силу вместе с их доказательствами. В частности, два вектора тогда и только тогда линейно зависимы, когда координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, когда

Два линейно зависимых вектора мы будем называть коллинеарными (мы увидим, что геометрический смысл этого наименования сохраняется и для векторов с комплексными координатами). Важно сразу же установить и для векторов с комплексными координатами основное предложение.

Три вектора на комплексной плоскости всегда линейно зависимы следовательно, один из них есть линейная комбинация двух других).

В самом деле, это утверждение справедливо (гл. II, § 5, предложение 2), если среди трех данных векторов какие-нибудь два, например линейно зависимы. Пусть векторы линейно независимы. Докажем, что тогда всякий третий вектор является линейной комбинацией векторов

причем коэффициенты в этой линейной комбинации однозначно определены.

В самом деле, из линейной независимости векторов следует, что

А тогда система уравнений (относительно неизвестных )

(равносильная одному уравнению ) имеет единственное решение относительно что и доказывает наше утверждение.

Существенным является следующее

Замечание. Мы определили комплексную плоскость, взяв обыкновенную, вещественную плоскость с заданной в ней аффинной системой координат . Эта система координат лежит в основе самого определения комплексной плоскости и будет называться ее «основной» системой координат. Начало этой системы координат есть вещественная точка а единичными векторами являются векторы Каждый вектор комплексной плоскости может быть записан, и притом единственным образом, в виде

где х и у — комплексные числа.

Задать в комплексной плоскости какую-нибудь «новую» (т. е. отличную от основной) вещественную систему аффинных координат — значит задать вещественную точку

— начало новой системы координат и пару линейно независимых вещественных векторов

(все числа при этом являются вещественными). Тогда вектор и, записывающийся в основной системе координат в виде (1), однозначно записывается и в виде линейной комбинации векторов

Коэффициенты х и у в этой линейной комбинации называются координатами вектора и в системе координат (они, как и в случае вещественных векторов, не зависят от выбора начала О). Координаты точки М в системе координат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат. При определении этнх координат остаются в силе все рассуждения главы VIII, и итогом этих рассуждений являются формулы

т. е. формулы преобразования координат, полученные на стр. 191. Эти формулы в комплексной плоскости таковы же, как в вещественной, и коэффициенты в них — вещественные числа.