§ 2. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ

1. Определение дифференцируемости функции.

Пусть, как и в предыдущем параграфе, функция определена на интервале — любое фиксированное число из этого интервала, — произвольное приращение аргумента, настолько малое, что значение аргумента также принадлежит интервалу — приращение функции в точке х, отвечающее приращению аргумента

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке х, если приращение А у этой функции в точке х,

отвечающее приращению аргумента может быть представлена 6 выдв

где А — некоторое число, не зависящее от - функция аргумента бесконечно малая в точке

В самой точке эта функция вообще говоря, не определена, и ей можно приписать в этой точке любое значение. Для дальнейшего удобно считать это значение равным нулю. При такой договоренности функция будет непрерывна в точке и равенство (5.7) можно распространить и на значение

Замечание. Второе слагаемое в правой части можно переписать в виде . В самом деле, так как обе функции а являются бесконечно малыми в точке то произведение этих функций а представляет собой бесконечно малую в точке функцию более высокого порядка, чем (см. п. 5 § 4 гл. 3). Таким образом, представление (5.7) можно нереписать в виде

Докажем следующее утверждение.

Теорема 5.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке х, т. е. ее приращение в этой точке, отвечающее приращению аргумента представимо в виде (5.7). Считая отличным от нуля и поделив (5.7) на получим

Правая (а поэтому и левая) часть (5.8) имеет равный А предел в точке Остается заметить, что предел при левой части (5.8) (в случае, если он существует) по определению равен производной

Итак, мы доказали, что если для функции справедливо представление (5.7), то эта функция имеет в точке х производную f(x), причем .

2) Достаточность. Пусть существует конечная производная т. е. существует конечный предел

Обозначим символом а разность т. е. положим

Из существования предела (5.9) вытекает, что функция а определяемая соотношением (5.10), имеет предел при равный нулю.

Умножая соотношение (5.10) на мы придем к представлению

совпадающему с представлением (5.7) при

Тем самым доказано, что из существования конечной производной вытекает дифференцируемость функции в точке х, причем в условии дифференцируемости (5.7) число А совпадает с Теорема доказана.

Доказанная теорема позволяет нам в дальнейшем отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у этой функции в данной точке конечной производной.

Операцию нахождения производной в дальнейшем договоримся называть дифференцированием.