3. Формула Тейлора.

Из той части дифференциального исчисления, которая уже изложена к настоящему моменту, могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных (включая производную нулевого порядка) совпадает у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестности этой точки. Мы в основном интересовались и сейчас будем интересоваться приближением функции в окрестности некоторой точки с помощью многочлена Нам известно (см. пример 25 из § 2, п. 6), что алгебраический полином можно представить в виде

В этом легко убедиться непосредственно.

Таким образом, если нам будет дана функция имеющая в точке все производные до порядка включительно, то мы можем немедленно выписать полином

производные которого до порядка включительно в точке совпадают с производными соответствующего порядка функции в точке

Определение 5. Алгебраический полином, заданный соотношением (5), называется полиномом Тейлора порядка функции в точке

Нас будет интересовать величина

уклонения полинома от функции называемая часто остатком, точнее, остатком или остаточным членом формулы Тейлора:

Само по себе равенство (7), конечно, не представляет интереса, если о функции не известно ничего, кроме ее определения (6).

Сейчас мы воспользуемся довольно искусственным приемом для получения информации об остаточном члене. Более естественный путь к этому даст интегральное исчисление.

Теорема 2. Если на отрезке с концами функция непрерывна вместе с первыми своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка то при любой функции (, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдется точка , лежащая между такая, что

На отрезке I с концами рассмотрим вспомогательную функцию

от аргумента Запишем определение подробнее:

Из определения функции и условий теоремы видно, что непрерывна на отрезке I и дифференцируема в его внутренних точках, причем

Применяя к паре функций на отрезке I теорему Коши (см. соотношение (4)), находим точку между в которой

Подставляя сюда выражение для и замечая из сопоставления формул (6), (9) и (10), что получаем формулу (8).

Полагая в получаем Следствие 1 (формула Коши остаточного члена).

Особенно изящная формула получается, если положить в соотношении

Следствие 2 (формула Лагранжа остаточного члена).

Отметим, что формулу (7) Тейлора при часто называют формулой Маклорена

Рассмотрим примеры.

Пример 3. Для функции при формула Тейлора имеет вид

и на основании равенства (12) можно считать, что

где

Таким образом,

Но при любом фиксированном если величина как нам известно (см. пример 12 из гл. стремится к нулю. Значит, из

оценки (14) и определения суммы ряда вытекает, что для

Пример 4. Аналогично получаем разложение функции для любого

Пример 5. Пусть Нам известно (см. пример 18 из § 2, п. 6), что поэтому из формулы (12) Лагранжа при и любом находим

откуда следует, что для любого фиксированного значения величина стремится к нулю при Таким образом, при любом справедливо разложение

Пример 6. Аналогично, для функции получаем

и

Пример 7. Поскольку для функции при из формулы (12) получаем

где если четно, и если нечетно. В любом случае ибо Значит, для любого фиксированного значения выполняется при и мы получаем разложение

справедливое для любого

Пример 8. Аналогично получаем разложение

справедливое для любого значения

Пример 9. Для функции имеем поэтому формула Тейлора (7) при для этой функции имеет вид

На сей раз представим по формуле Коши (11):

или

где точка лежит между 0 и .

Если то из условия, что лежит между 0 и х, следует, что

Таким образом, при

и, следовательно, при справедливо разложение

Заметим, что вне отрезка ряд, стоящий справа в (26), всюду расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если

Пример 10. Если где а то поэтому формула Тейлора (7) при для этой функции имеет вид

Используя формулу Коши (11), находим

где лежит между 0 и х.

Если то, используя оценку (24), имеем

При увеличении на единицу правая часть неравенства (29) умножается на поскольку то при достаточно больших значениях независимо от значения а, будем иметь если

Отсюда следует, что при любом а и любом х из интервала выполнено когда поэтому на интервале справедливо полученное Ньютоном разложение (бином Ньютона)

Заметим, что, как следует из признака Даламбера (см. гл. при ряд (30) вообще расходится, если только а

Рассмотрим теперь особо случай, когда

В этом случае функция является полиномом степени и поэтому все ее производные порядка выше чем равны нулю. Таким образом, формула Тейлора (7) и, например, формула Лагранжа (12) позволяют записать следующее равенство:

представляющее собой известную из школы формулу бинома Ньютона для натурального показателя:

Итак, мы определили формулу Тейлора (7) и получили вид (8), (11), (12) остаточного члена формулы Тейлора. Мы получили соотношения (14), (16), (18), (25), (29), позволяющие оценивать погрешность вычисления важных элементарных функций по формуле Тейлора. Наконец, мы получили разложения этих функций в степенные ряды.

Определение 6. Если функция имеет в точке производные любого порядка то ряд

называется рядом Тейлора функции в точке

Не следует думать, что ряд Тейлора каждой бесконечно дифференцируй емой функции сходится в некоторой окрестности точки ибо для любой последовательности чисел можно построить (это не совсем просто) функцию такую, что

Не следует также думать, что если ряд Тейлора сходится, то он обязательно сходится к породившей его функции. Сходимость ряда Тейлора к породившей его функции имеет место только для так называемых аналитических функций.

Вот пример Коши неаналитической функции:

Исходя из определения производной и того, что при независимо от значения к (см. пример 30 из § 2 гл. III), можно проверить, что для Таким образом, ряд Тейлора в данном случае состоит только из нулевых членов и его сумма тождественно равна нулю, в то время как при .

В заключение остановимся на локальном варианте формулы Тейлора.

Вернемся снова к задаче о локальном приближении функции полиномом, которую мы начали обсуждать в § 1, п. 3. Мы хотим подобрать полином так, чтобы иметь

или, подробнее,

Сформулируем в явном виде по существу уже доказанное

Утверждение 3. Если полином удовлетворяющий условию (32), существует, то он единственный.

Действительно, из условия (32) последовательно и вполне однозначно (в силу единственности предела) находятся коэффициенты полинома

Докажем теперь следующее

Утверждение 4 (локальная формула Тейлора). Пусть Е — отрезок с концом . Если функция имеет в точке все производные до порядка включительно, то справедливо следующее представление:

Таким образом, задачу локального приближения дифференцируемой функции решает полином Тейлора соответствующего порядка.

Поскольку полином Тейлора строится из условия совпадения всех его производных до порядка включительно с производными соответствующего порядка функции в точке то и справедливость формулы (33) устанавливает следующая

Лемма 2. Если функция определенная на отрезке Е с концом такова, что она имеет в точке все производные до порядка включительно и то при .

При утверждение вытекает из определения дифференцируемости функции в точке в силу которого

и, поскольку имеем

Предположим, что утверждение доказано для порядков Покажем, что тогда оно справедливо также для порядка

Заметим предварительно, что поскольку

то существование предполагает, что функция определена на Е хотя бы вблизи точки Уменьшая, если нужно, отрезок Е, можно заранее считать, что функции где , определены на всем отрезке Е с концом Поскольку , то функция имеет на производную и по условию

Таким образом, по предположению индукции

Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем

где — точка, лежащая между при . Значит, при одновременно будем иметь , и поскольку

то проверено, что

Таким образом, утверждение леммы 2 проверено принципом математической индукции.

Соотношение (33) называется локальной формулой Тейлора, поскольку указанный в нем вид остаточного члена (так называемая форма Пеано)

позволяет делать заключения только об асимптотическом характере связи полинома Тейлора и функции при .

Формула (33) удобна, таким образом, при вычислении пределов и описании асимптотики функции при , но она не может служить для приближенного вычисления значений функции до тех пор, пока нет фактической оценки величины

Подведем итоги. Мы определили полином Тейлора

написали формулу Тейлора

и получили следующие ее важнейшие конкретизации:

Если имеет производную порядка интервале с концами то

где — точка, лежащая между

Если имеет в точке все производные до порядка включительно, то

Соотношение (35), называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, очевидно, является обобщением теоремы Лагранжа, в которую оно превращается при

Соотношение (36), называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, очевидно, является обобщением определения дифференцируемости функции в точке, в которое оно переходит при

Заметим, что формула (35) практически всегда более содержательна, ибо, с одной стороны, как мы видели, она позволяет оценивать абсолютную величину остаточного члена, а с другой, например, при ограниченности в окрестности из нее вытекает также асимптотическая формула

Так что для бесконечно дифференцируемых функций, с которыми в подавляющем большинстве случаев имеет дело классический анализ, формула (35) содержит в себе локальную формулу (36).

В частности, на основании формулы (37) и разобранных выше примеров 3—10 можно теперь выписать следующую таблицу асимптотических формул при :

Рассмотрим теперь еще некоторые примеры использования формулы Тейлора.

Пример 11. Напишем полином, позволяющий вычислять значения функции на отрезке с абсолютной погрешностью, не превышающей

В качестве такого многочлена можно взять тейлоровский многочлен подходящей степени, получаемый разложением функции в окрестности точки Поскольку

где по формуле Лагранжа

то при

Но при Таким образом, с нужной точностью на отрезке имеем

Пример 12. Покажем, что при Имеем

Таким образом, и написанное соотношение следует из локальной формулы Тейлора.

Пример 13. Пусть Исследуем сходимость ряда

При когда Оценим порядок члена ряда

Таким образом, мы имеем знакопостоянный ряд, члены которого эквивалентны членам ряда Поскольку последний ряд сходится только при в указанной области исходный ряд сходится лишь при (см. задачу 16b).

Пример 14. Покажем, что

На сей раз, вместо того чтобы вычислять подряд шесть производите, мы воспользуемся уже известными разложениями при при и

Пример 15. Найдем значения первых шести производных функции при

Имеем потому ясно, что в нуле данная функция имеет производные любого порядка, ибо Мы не станем искать функциональные выражения этих производных, а воспользуемся единственностью полинома Тейлора и результатом предыдущего примера.

Если

то

Таким образом, в нашем случае получаем

Пример 16. Пусть — бесконечно дифференцируемая в точке функция, и пусть известно разложение

ее производной в окрестности нуля. Тогда из единственности тейлоровского разложения имеем

поэтому Таким образом, для самой функции имеем разложение

или, после упрощений,

Пример 17. Найдем тейлоровское разложение функции в нуле.

Поскольку то по соображениям, изложенным в предыдущем примере,

т. е.

Пример 18. Аналогично, раскладывая функцию по формуле Тейлора в окрестности нуля, последовательно находим

или, после элементарных преобразований,

Здесь

Пример 19. Воспользуемся результатами примеров 5,12,17,18 и найдем

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)