Глава 4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

В двух предыдущих главах мы ввели понятия вероятности и случайной величины, определили различные функции, их характеризующие, и рассмотрели некоторые свойства этих функций Мы отметили, что эти функции описывают поведение случайных величин в длинных сериях испытаний (т. е. поведение в среднем), В действительности можно показать, что различные величины, характеризующие случайные величины в среднем (среднее, среднеквадратичное и т. п.), можно определить, используя распределения вероятностей этих случайных величин. Именно этот аспект теории вероятностей рассматривается в настоящей главе. В частности, мы определим процесс статистического усреднения, изучим некоторые представляющие интерес средние значения и в заключение исследуем соотношение между временными и статистическими средними.

4.1. Математические ожидания

Рассмотрим дискретную случайную величину где х — дискретная случайная величина, принимающая одно из М возможных значений — однозначная функция от х. Мы хотим теперь определить среднее значение величины . С этой целью возвратимся на время к частотной интерпретации вероятности Предположим, что N раз повторяется основной эксперимент, определяющий случайную величину х, и что при этих N повторениях событие, соответствующее появляется раз. Арифмети ческое среднее от равно в этом случае

Если мы полагаем, что повторения этого эксперимента обеспечи вают статистическую устойчивость, то можем ожидать (как это указывалось в гл. 2), что при это среднее значение сходится к некоторому пределу. Вероятность представляет собой предел относительной частоты поэтому мы приходим к следующему определению математического ожидания (или

статистического среднего) дискретной случайной величины

Математическое ожидание является пределом арифметического среднего.

Если — набор всевозможных значений х, при которых принимает значение то вероятность значения равна и равенство (4.1) может быть переписано в виде

Выражения (4.1) и (4.2) приводят к одному и тому же значению для математического ожидания их существенное различие состоит в том, что выражение (4.1) относится к пространству значений величины х, а (4.2) —k пространству значений величины у. Простейшим частным случаем выражения (4.1) является тот, при котором Число называют также средним значением и обозначают через

Пусть теперь х — непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения — однозначная функция от х. Мы снова хотим определить математическое ожидание случайной величины Пусть х аппроксимируется дискретной случайной величиной х, которая принимает значения с вероятностями где — набор М интервалов, на которые разбивается пространство значений Тогда, согласно (4.1),

Если мы положим все то при этом и предельны значением суммы оказывается написанный ниже интеграл

(4.3) (это во всяком случае будет так, если кусочно-непрерывны). Это рассуждение наводит на мысль, что мы можем определить математическое ожидание непрерывной случайной величины при помощи равенства

Допустив, что может содержать импульсные функции, можно расширить область приложимости соотношения (4.3) и применять его к тем случаям, когда х — смешанная случайная величина, содержащая непрерывную и дискретную части. Математическое ожидание случайной величины можно выразить также и через вероятности в пространстве значений у, если определена плотность распределения то

Многомерные случайные величины.

Выше мы рассмотрели только математические ожидания функций одной случайной величины. Рассмотрим теперь случай, когда имеются две или несколько случайных величин. Предположим сначала, что случайные величины х и у дискретны и принимают соответственно М возможных значений и К возможных значений Наша задача состоит в том, чтобы определить математическое ожидание однозначной функции, скажем от двух случайных величин х и у. Такой функцией может быть сумма произведение

Хотя мы и имеем здесь дело с двумя случайными величинами , математическое ожидание случайной величины в действительности уже определено равенством (4.1). Поскольку может принимать любое из М возможных значений, а у — любое из К возможных значений, пара может принимать любое из возможных значений; можно заменить двойные индексы одним индексом, пробегающим значения от 1 до и, далее, применить равенство (4.1). Но в замене индексов даже нет необходимости; очевидно, что

Соответствующее выражение для непрерывных (или смешанных) имеет вид

Совершенно очевидным способом равенства (4.5) и (4.6) можно распространить на случай более чем двух случайных величин

Пример 4.1.1 Применим полученные выше выражения к некоторым пред ставляющим интерес функциям Пусть где — постоянные. Непосредственное применение равенства (4 6) приводит к следующему результату

Первое слагаемое в правой части представляет собой умноженное на а мате матическое ожидание функции а второе слагаемое — умноженное на математическое ожидание функции Итак,

Согласованность зтого результата с исходным определением (4.3) вытекает из свойств плотности совместного распределения вероятностей и, в частности, из равенства (3 29 а) Нетрудно распространить полученный результат на случай N величин и показать, что

где постоянные. Итак, среднее от взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме их средних.

Пример 4.1.2. Найдем теперь математическое ожидание произведения функции от случайной величины х на функцию от случайной величины у Согласно (4 6),

Вообще говоря, это все, что можно получить, не конкретизируя дальше плотность совместного распределения Однако дальнейшее упрощение оказывается возможным, если х и у независимы. В этом случае плотность местного распределения оказывается произведением плотностей вероятностен величин х и у, и мы получаем

Таким образом, для независимых случайных величин

Этот результат легко распространить на случай более чем двух случайных величин. Таким образом, среднее от произведения независимых случайных величин равно произведению средних от этих величин

Вероятностные процессы. Предыдущие замечания относительно математических ожиданий случайных величин приложимы равным образом и к математическим ожиданиям вероятностных процессов.

Пусть, например, случайная величина, представляющая собой значения, которые в момент t могут принимать выборочные функции некоторого вероятного процесса. Тогда мы определим математическое ожидание функции от данного вероятностного процесса как математическое ожидание соответствующей функции от

Следует отметить, что математическое ожидание вероятностного процесса, вообще говоря, будет функцией времени, так как плотность случайной величины в общем случае может отличаться от плотности величины Предположим, например, что выборочные функции некоторого вероятностного процесса связаны с выборочными функциями другого процесса соотношением

Так как является при фиксированном t просто числом,

Предположим теперь, что процесс с выборочными функциями стационарен. Тогда плотность распределения одинакова для всех t и при всех t имеет одинаковое значение (т. е. математическое ожидание стационарного вероятностного процесса представляет собой как функция от времени постоянную). При этом для всех не кратных

и не является постоянной, как это было бы, будь соответствующий процесс стационарным.