5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Ради определенности будем рассматривать предел функции в точке а.

Функция называется бесконечно малой в точке а, если предел этой функции в точке а равен нулю.

Примером бесконечно малой в точке а функции может служить функция где — любое целое положительное число.

В самом деле, в конце предыдущего пункта мы установили, что многочлен имеет предел в каждой точке а, причем этот предел равен частному значению этого многочлена в точке т. е. равен нулю.

Заметим, что если функция имеет предел в точке а, равный числу то функция является бесконечно малой в точке а.

Это вытекает из того, что пределы каждой из функций в точке а равны числу и из теоремы 3.21 для случая разности

Сформулированное утверждение приводит нас к следующему специальному представлению для функции имеющей равный b предел в точке а:

где — некоторая бесконечно малая в точке а функция. Представление (3.63) весьма удобно в различных приложениях теории пределов.

Введем теперь понятие бесконечно большой в данной точке а справа [или слева] функции.

Функция называется бесконечно большой в точке а справа [слева] функцией, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента, все элементы которой больше а [меньше а], соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.

Для бесконечно больших в точке а справа [слева] функций используется следующая символика:

или

Иногда употребляют более лаконичную символику:

или

Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке а функций. Пусть — две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке а.

1°. Говорят, что является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем (имеет в точке а более высокий порядок малости, чем если

2°. Говорят, что являются в точке а бесконечно малыми одного порядка (имеют в точке а одинаковый порядок мало , если предел, стоящий в левой части (3.64), равен конечному числу, отличному от нуля.

3°. Говорят, что являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если предел, стоящий в левой части (3.64), равен единице.

Для обозначения того, что является в данной точке беско» нечно малой более высокого порядка, чем используют следующую запись:

(читается: «а равно о малому от ).

Итак, символ о обозначает любую бесконечно малую в данной точке а функцию, имеющую в этой точке более высокий порядок малости, чем бесконечно малая в той же точке функция

Из этого определения символа «о малое» вытекают следующие его свойства:

3) если — любые две бесконечно малые в данной точке функции, то

Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке а справа (или слева) функции.

Пусть определены для одних и тех же значений» аргумента и для определенности

1°. Говорят, что имеет в точке а справа более высокий порядок роста, чем если функция является бесконечно большой в точке а справа.

2°. Говорят, что имеют в точке а справа одинаковый порядок роста, если предел функции - при равен конечному числу, отличному от нуля.

Приведем примеры сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Функции являются в точке бесконечно мальг/и одного порядка, ибо

2. Функции являются в точке эквивалентными бесконечно малыми, ибо

3. Функции — являются бесконечно большими одинакового порядка роста в точке как справа, так и слева, ибо

Аналогично определяются и сравниваются функции, бесконечно малые или бесконечно большие при а также при соответственно при .