ЭКСТРЕМУМ
(лат. extremum — крайнее) — значение некоторой величины или функции
, являющееся ее максимумом или минимумом. Различают экстремум локальный — Э. в некоторой произвольно малой окрестности данной точки, и экстремум глобальный — Э. во всей рассматриваемой области значений х. Локальным максимумом или минимумом ф-ций
заданных на ледовой оси, является такое значение
для которого выполняется соответственно неравенство
или
для всех х, находящихся внутри интервала
, где
достаточно малое число. Для дифференцируемых ф-ций, заданных в явном виде, Э. достигается только в тех точках
где
условие существования Э.). Для нахождения точек Э. решают
ур-ние 
и каждый из полученных корней 
исследуют одним из таких двух способов (которые дают достаточные условия существования Э. 1) Находят знаки 
в точках и
Если 
имеют одинаковые знаки, то Э. нет; если 
то имеем точку минимума; если 
то имеем точку максимума. 2) Находят 
Если порядок первой, отличной от 
, производной из этого ряда — четный, то ф-ция 
имеет или максимум (когда производная отрицательная), или минимум (когда производная положительная). Если же порядок этой производной нечетный, то ф-ция не имеет Э.
Если ф-ция 
задана неявно (при помощи ур-ния 
то решают систему 
и полученные решения 
подставляют в 
Если в точке 
эти частные производные имеют разные знаки, то при данном 
ф-ция имеет минимум; если же они имеют одинаковые знаки, то ф-ция имеет максимум. Если одна из этих производных равна 0, аналитические методы становятся более сложными. См. также Минимизации функций методы, Оптимизации методы численные. Л. Т. Хавро.
