4. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Введем фундаментальное понятие сходящейся последовательности и ее предела.

Определение 1. Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом

вещественное число а называется пределом последовательности

Если последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывают так:

Используя определение бесконечно малой последовательности, мы приходим к другому определению сходящейся последовательности, эквивалентному определению 1.

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа найдется номер такой, что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству

При этом число а называется пределом последовательности

Неравенство (3.15) можно записать в эквивалентной форме

или, что то же самое,

На геометрическом языке неравенства (3.15) означают, что элементы при лежат в интервале который мы договорились называть -окрестностью точки а.

Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящейся последовательности, эквивалентное определениям 1 и 2.

Определение 3. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что в любой -окрестности точки а находятся все элементы последовательности начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от ).

Установим специальное представление для элементов любой сходящейся последовательности . В силу определения 1 разность является элементом бесконечно малой последовательности. Следовательно, элемент сходящейся последовательности, имеющей своим пределом вещественное число а, может быть представлен в следующем специальном виде:

где — элемент некоторой бесконечно малой последовательности

Замечание 1 Из определения сходящейся последовательности и ее предела сразу же вытекает, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину ее предела.

Замечание 2. Последовательности, не являющиеся сходящимися, принято называть расходящимися.

Замечание 3. Иногда формально договариваются трактовать бесконечно большие последовательности как последовательности, сходящиеся к пределу Такая формализация позволяет использовать для бесконечно большой последовательности следующую символику

Если при этом элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный [отрицательный] знак, то используют следующую символику:

В качестве примера докажем, что последовательность с элементами

сходится к пределу Фиксируем произвольное положительное число 8 и докажем возможность выбора по этому такого номера что при всех Так как число 1/3 представимо бесконечной десятичной дробью то из правила упорядочения вещественных чисел вытекают следующие неравенства:

справедливые для любого номера

Из последних неравенств мы получим для числа следующее соотношение:

Так как для всех то для нахождения по данному номера такого, что при всех достаточно выбрать этот номер из условия

Напомним, что в п. 2 мы установили возможность выбора номера из условия для любого Там доказано, что такой номер можно взять равным

В нашем случае так что

Перейдем к установлению свойств произвольных сходящихся последовательностей.

Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последовательности (3.16) мы получим, что где — некоторые бесконечно малые последовательности. Из последних двух равенств получим, что . В силу теоремы 3.2 последовательность является бесконечно малой, а в силу равенства все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числу На основании теоремы 3.5 это число равно нулю, т. е. Теорема доказана.

Теорема 3.8. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть сходящаяся последовательность и а — ее предел. Фиксируем некоторое положительное число и по нему номер такой, что при или, что то же самое, при Обозначим через А наибольшее из следующих чисел: Тогда, очевидно, для всех номеров а это и доказывает ограниченность последовательности Теорема доказана.

Замечание 4. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, последовательность является ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим член этой последовательности символом и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу а. Но тогда каждая из последовательностей являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей а этого быть не может в силу того, что для всех номеров

Следующие четыре теоремы показывают, что четыре арифметические операции над элементами сходящихся последовательностей приводят к аналогичным операциям над их пределами.

Теорема 3.9. Сумма сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей

Доказательство. Предположим, что последовательности сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последовательности (3.16) будут справедливы соотношения

в которых представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей Из соотношений (3.17) вытекает, что

Так как сумма двух бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовав тельность (теорема 3.1), то из соотношения (3.18) вытекает в силу определения 1, что последовательность сходится и вещественное число а является ее пределом. Теорема доказана.

Теорема 3.10. Разность сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.9, только вместо соотношения (3.18) мы получим соотношение

Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей

Доказательство. Предположим, что последовательности сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы специальные представления (3.17), перемножая которые, мы получим

или, что то же самое,

Для доказательства теоремы в силу определения 1 остается убедиться в том, что в правой части (3.19) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу же вытекает из теоремы

3.3 (согласно этой теореме последовательности являются бесконечно малыми), из следствия из теорем 3.3 и 3.4 (согласно этому следствию последовательность является бесконечно малой) и из теоремы 3.1 (согласно этой теореме сумма трех бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью). Теорема доказана.

Теореме о частном двух сходящихся последовательностей предпошлем следующую лемму.

Лемма 1. Если последовательность сходится к отличному от нуля пределу то, начиная с некоторого номера, определено частное последовательностей которое представляет собой ограниченную последовательность.

Доказательство. Учитывая, что обозначим через положительное число Для этого найдется номер такой, что при справедливо неравенство или, что то же самое,

Итак, для всех номеров начиная с номера выполняется неравенство (3.20). Убедимся в том, что из неравенства (3.20) вытекает следующее неравенство:

которое тем самым оказывается справедливым также для всех номеров начиная с номера . В самом деле, так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел, то, исходя из тождества и используя неравенство (3.20), мы получим

Из последнего неравенства сразу же вытекает неравенство (3.21), справедливость которого, начиная с номера установлена.

Неравенство (3.21) позволяет утверждать, что при элементы не обращаются в нуль и, начиная с номера можно рассматривать частное

Из (3.21), в свою очередь, вытекает, что для всех справедливо неравенство

Это последнее неравенство и доказывает, что последовательность если ее рассматривать, начиная с номера N, является ограниченной. Лемма доказана.

Теорема 3.12. Частное двух сходящихся последовательностей предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей

Доказательство. Предположим, что последовательности сходятся к пределам а и соответственно. В силу леммы 1 найдется номер такой, что при элементы необращаются нуль, определена последовательность и эта последовательность является ограниченной. Начиная с указанного номера мы и будем рассматривать частное В силу определения 1 достаточно доказать, что последовательность является бесконечно малой. Будем исходить из тождества

Так как для элементов справедливы специальные представления (3.17), то

Подставляя (3.23) в (3.22), получим

Остается доказать, что в правой части (3.24) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из теоремы 3.3 и из того, что последовательность (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.

Убедимся теперь в том, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, приводят к аналогичным неравенствам для пределов этих последовательностей.

Теорема 3.13. Если все элементы сходящейся последовательности по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству то и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству

Доказательство. Предположим, что все элементы по крайней мере начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству Докажем, что и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству Допустим, что это не так, т. е. справедливо неравенство

Тогда по определению сходящейся последовательности для положительного числа найдется такой номер (этот номер мы возьмем еще и таким, чтобы он превосходил что при будет справедливо неравенство или Последнее неравенство эквивалентно неравенствам — правое из которых означает, что при всех а это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что неверно, т. е.

Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание 5. Если все элементы сходящейся последовательности удовлетворяют строгому неравенству то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что и предел х этой последовательности удовлетворяет строгому неравенству (Можно лишь утверждать, что

Например, если то для всех номеров однако (предел не удовлетворяет неравенству

Следствие 1. Если все элементы двух сходящихся последовательностей по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству

В самом деле, начиная с указанного номера, все элементы последовательности неотрицательны. В силу теоремы 3.13 и предел указанной последовательности неотрицателен. В силу теоремы и мы получим, что Из последнего неравенства вытекает (3.25).

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте то и предел х этой последовательности лежит на сегменте

В самом деле, так как для всех номеров то (в силу теоремы 3.13) .

Последнюю теорему, к доказательству которой мы сейчас переводим, можно назвать принципом двустороннего ограничения.

Теорема 3.14. Пусть две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, все элементы третьей последовательности по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам

Тогда последовательность сходится к тому же самому пределу а.

Доказательство. Предположим, что неравенства справедливы, начиная с номера Тогда, начиная с того же самого номера справедливы и неравенства

Из неравенств (3.27) вытекает, что для каждого номера превосходящего

(Эта запись означает, что не превосходит наибольшего двух чисел

Фиксируем произвольное положительное число е. Тогда в силу сходимости последовательностей к пределу а найдутся) номера такие, что

Если мы теперь обозначим через наибольший из трех то при будут справедливы оба неравенства и мы получим в силу (3.28), что при справедливо неравенство

Это и доказывает сходимость последовательности к пределу а. Теорема доказана.