Устойчивость и закон действующих масс в метаболической системе

Уравнение (1.3) содержит экспоненциальный член с отрицательным показателем. Это показывает, что стационарное состояние кинетической системы, описываемой уравнением (1.2), устойчиво к возмущению. Ответ системы изображен на рис. 1.2. Такое поведение является результатом фундаментального предположения о характере кинетических реакций, воплощенного в законе действующих масс: скорость реакции пропорциональна концентрации реагентов; этот закон и приводит к появлению члена — в уравнении (1.2). Таким образом, чем больше субстрата тем быстрее он превращается в свой продукт. Это справедливо для всех стадий цепи реакций, изображенной на рис. 1.1, т. е. можно предполжить, что сеть такого рода устойчива к возмущению любой ее переменной или даже к возмущению любого набора переменных. Справедливость этого положения была показана Хироном (Неагоп, 1952), а причиной устойчивости является именно закон действующих масс.

Рассмотрим теперь следствия второго предположения, использованного при представлении промежуточного метаболизма в виде схемы рис. 1.1, где каждая реакция рассматривается как реакция первого порядка относительно своих субстратов. Мы знаем, что многие реакции бимолекулярны: например, в реакцию получения карбамоиласпарагиновой кислоты, катализируемую аспартаткарбамоилтрансферазой, вовлечены оба соединения — аспарагиновая кислота и карбамоилфосфат. Предположение о том, что in vivo такие реакции могут быть квазилинейными, так как один субстрат присутствует в фактически насыщающих концентрациях, по-видимому, несостоятельно. Поэтому

уравнения типа (1.1), которые мы используем для описания кинетики, будут в общем случае включать произведения концентраций двух или более переменных вместо того, чтобы быть линейными. Результат Хирона был получен для линейных систем, для которых существует единственное стационарное решение. Для метаболической системы общего вида с квадратичными членами и членами более высокого порядка в кинетических уравнениях никаких твердых выводов подобного рода сделать нельзя, потому что просто невозможно получить общие решения и проверить устойчивость различных стационарных состояний.

Рис. 1.2. Ответ промежуточного продукта на малое возмущение амплитуды b.

В случае таких нелинейных систем мы немедленно сталкиваемся с серьезными математическими трудностями. Существуют, однако, некоторые соображения общего аналитического характера, которые указывают, что нелинейные сети все же будут иметь локально устойчивые стационарные состояния. Пример такого рода приведен Ньюменом (Newman, 1972); представляет интерес и более ранняя литература по этому поводу (Kacser, 1957; Denbigh, 1948), но при рассмотрении общего случая она недоказательна. Современное исследование качественных типов неустойчивости, которые наблюдаются в химических системах второго и третьего порядка, проведено в интересной статье Тайсона и Лайта (Tyson, Light, 1973). В работе наглядно показано, что для таких систем характерны только очень ограниченные формы поведения, кроме известных асимптотически устойчивых состояний рассматриваемого нами типа (пример такого ответа показан на рис. 1.2). Можно сказать, что, несмотря на отдельные, пусть даже значительные успехи, проблема анализа сложных нелинейных систем и сейчас остается почти такой же трудной, какой она была в начале 50-х годов, и хорошо, что понимание организации метаболических процессов в клетках зависело не от теоретического анализа, а от

эксперимента. В начале 50-х годов были получены некоторые данные о свойствах метаболических мутантов бактерий, которые в корне меняли схему, изображенную на рис. 1.1, возвещая эру кибернетики в клеточной физиологии.