Обратные предельные системы

Функциональная иерархия, которая была использована для описания биологической организации, теперь, как можно видеть, представляется как иерархия познавательных процессов, причем каждый из этих процессов функционирует на основании знания о некотором аспекте мира. Каждый уровень иерархии предусматривает соответствующее поведение только для событий, происходящих в течение данного периода времени, причем этот временной отбор проводится по характерному времени разных стадий ответа. Таким образом, мы можем сказать, что каждый уровень иерархии важен только в процессах, происходящих с данной скоростью или в пределах данного диапазона частот. Мы можем формализовать отношения между этими уровнями следующим образом.

Обозначим само событие через Е, а различные функциональные уровни организма, которые могут отвечать на него, через . Эти уровни поведения связаны друг с другом операциями, которые включают усреднение, в том смысле, что «видит» и реагирует на усредненный по времени вариант того, что «видит» и на что отвечает Например, если событие Е представляет собой понижение уровня экзогенного аргинина в бактериальной культуре, то может представлять собой эпигенетический уровень аргининовой системы управления, отвечающий на усредненную по времени версию того, на что реагирует метаболитный уровень системы. Все системы управления синтезом аргинина вместе образуют познающую единицу.

Установить соответствие между событием и разными уровнями ответа на него можно способом, представленным на рис. 7.1. Здесь — преобразования (включающие операции усреднения), устанавливающие соответствие между так что — самое грубое временное описание Е, а — самое тонкое из представленных на рисунке. Хотя мы рассматриваем лишь временной аспект иерархических отношений, подобный анализ с таким же успехом применим и к пространственному описанию. Тогда с помощью функции будет проводиться усреднение по пространству так же, как оно производится по времени. В дальнейшем однако, мы ограничимся рассмотрением только

временного аспекта. Хотя мы применим подробный анализ иерархических связей только к очень простым организмам, таким, как бактерии, этот подход распространяется и на более сложные системы со многими уровнями ответа.

Если существует правило получения отображений такое, что ставится в соответствие с помощью сложного отображения

и задан единичный элемент, то вышеприведенный ряд называется обратной предельной последовательностью (Eilenberg, Steenrod, 1952; Hocking, Joung, 1961).

Рис. 7.1. Описание иерархической организации организмов в терминах обратных предельных систем.

Чтобы было понятнее, рассмотрим пример, в котором — чистые операторы усреднения по времени. Пусть -зависящая от времени переменная, например концентрация какого-либо питательного вещества в бактериальной культуре или освещенность поверхности водоема. Пусть время, в течение которого переменная является входом для некоторого оператора усреднения (обозначенного i) в организме, равно , а время, в течение которого существует ответ оператора, равно . Запишем

тогда

Определим среднее по времени значение переменной X, которое дает этот оператор:

Это уравнение того же типа, что и уравнение, описывающее процесс клеточного восстановления (гл. 4). Здесь функция характеризует природу усредняющей операции, выполненной рассматриваемой единицей, например цепью управления. Для выполнения требований, предъявляемых к процессу усреднения, необходимо, чтобы

и

Определение операции усреднения взято из интересной работы Корнекера (Kornacker, 1972), рассмотревшего процессы измерения в живых системах и использовавшего их при формулировке положений обобщенной статистической механики. Разница состоит лишь в том, что нижний предел интегрирования взят здесь равным 0, а не , так как

Предположим, что два разных оператора усреднения i и j действуют последовательно на Тогда мы получаем

Но

и поэтому мы имеем

Этот двойной интеграл называется двойной сверткой. Обобщая полученный результат на случай последовательности операций усреднения, находим, что

Таким образом, мы получили пример правила составления последовательных операторов в схеме, представленной на рис. 7.1,

Полезно посмотреть, как анализ динамического поведения молекулярных управляющих цепей, выполненный в предыдущих главах, соотносится с общей схемой описания, основанной на применении операторов усреднения. Рассмотрим цепь управления метаболизмом, описанную в гл. 1, с ингибированием конечным продуктом, со стехиометрией n. Пусть конечный продукт, скажем аминокислота, присутствует в питательной среде в концентрации Его концентрация будет флуктуировать, характеризуясь неким спектром (распределением амплитуд и частот флуктуаций), т. е. стохастическая (случайная) переменная. Аминокислота будет транспортироваться в клетку и давать свой вклад во внутриклеточный пул конечного продукта и, таким образом, флуктуации в будут сообщаться пулу. Назначение цепи управления состоит в том, чтобы поддерживать у, на относительно постоянном уровне и таким образом противодействовать флуктуациям, идущим от Это и достигается с помощью цепи отрицательной обратной связи при условии, что время релаксации этой системы управления соответствует частоте флуктуаций в Посмотрим, как это происходит.

Возьмем простейший случай одностадийной цепи отрицательной обратной связи, в которой продукт ингибирует каталитическую активность фермента. Тогда динамику цепи управления можно охарактеризовать уравнением

где первый член в правой части, напоминающий соответствующий член уравнения Хилла, описывает управление; — скорость транспорта в клетку аминокислоты, a -внутриклеточная концентрация аминокислоты, которая потребляется для биосинтетических целей со скоростью . Рассмотрим поведение этой цепи управления в окрестности стационарного состояния считая, как обычно, что отклонения от этого состояния малы. Тогда уравнение можно линеаризовать, что даст следующее уравнение для малой величины

где — наклон функции управления в стационарной точке . Как показано в гл. 1, важным фактором в определении значения этой величины является стехиометрия реакции ингибирования n.

Уравнение (7.3) можно теперь решить следующим образом. Перепишем его в виде

Заметим, что

тогда уравнение можно переписать так:

Интегрируя, находим

где С — постоянная интегрирования. Она равна

что отражает «историю» процесса вплоть до нулевого момента времени, и решение принимает вид

Записав , получим

Положив

мы получим выражение, совершенно аналогичное (7.1). Здесь А — нормировочный множитель, необходимый для выполнения условия

Это дает нам

откуда

Этот результат показывает, что для обыкновенного линейного дифференциального уравнения типа (7.3) оператор усреднения есть

Очевидно, свойства этой функции зависят от и значения которых определяются характеристиками цепи управления и константой скорости утилизации соответственно. Для метаболического процесса, описываемого уравнением типа (7.2), 7 по оценкам, основанным на данных гл. 1, равна примерно Цепь управления с таким временем релаксации будет, конечно, сглаживать флуктуации которые попадают в ее частотный диапазон. Прибегая к языку нашей теории познания, можно сказать, что цепь управления с некоторым временем релаксации предполагает, что существуют флуктуации окружающих условий с определенным диапазоном частот. Познавательная мощность цепи определяется ее способностью гасить эти флуктуации. Определенная цепь управления вырабатывается в соответствии с конкретными предположениями относительно свойств и успех ее работы зависит от того, насколько хорошо соответствие между предполагаемым и ожидаемым поведением. Весь анализ был проделан нами только для линейной системы, однако из него ясны принципы, лежащие в основе использования операторов в уравнении (7.1).

Формальная область интегрирования в уравнении (7.4) — это , но имеется такое эффективное время усреднения, определяемое величиной - и, следовательно, характерным временем ответа системы управления, что при увеличении времени сверх него среднее существенно не меняется. Обозначим это время Тогда

В параметр - входит концентрация любой пермеазы, поставляющей клетке экзогенный метаболит, а в — концентрации ферментов. В интервале их можно считать постоянными. Однако теперь становится входом для эпигенетической системы, и изменения в должны учитываться в течение больших времен, чем Это приводит к появлению кросс-корреляционных членов в выражениях для средних по времени значений переменных эпигенетических процессов, где Те — время релаксации эпигенетической системы. Именно из таких выражений можно получить доказательства согласованного динамического поведения, отражающего способность

системы резонировать с флуктуациями и таким образом функционировать с высокой эффективностью. На это свойство иерархически организованных систем неоднократно указывал Корнекер (Kornacker, 1969 а; 1969 b; 1972), который считает его главным источником динамической упорядоченности биологических систем и описывает процессы познавания в терминах корреляционного анализа. Мак-Клар (McClare, 1971; 1972) представил убедительные аргументы в пользу точки зрения, согласно которой динамические корреляции и резонанс являются источником необычайно высокой эффективности миграции энергии в биологических системах, и предложил подход к биологической энергетике, основанный на резонансных формах взаимодействия.

В то время как более низкие уровни иерархии порождают входы для более высоких уровней, последние определяют динамические ограничения или параметры для первых. Это ясно видно из уравнения (7.5), где выступает в роли параметра для метаболической переменной На эпигенетическом уровне необходимо рассматривать не только кросс-корреляции между но и корреляции со входами из окружающей среды, приходящими непосредственно на этот уровень, что отображено на рис. 7.1 стрелкой от Е к . Примером такого влияния представляется суточный цикл свет — темнота, который может действовать прямо на активность генов путем изменения температуры, концентрации водородных ионов и т. д. Следовательно, динамические сопряжения в сложной системе включают корреляции между входами от более низких уровней и входами из окружающей среды с внутренней динамикой данного уровня. Эти зависимости скорее коррелятивные, чем причинные, так как каждый уровень и каждая компонента в пределах уровня относительно автономны. Основываясь на этих взаимодействиях и корреляциях, можно, очевидно, получить значительно более сложное и интересное поведение, чем простое гашение флуктуаций окружающей среды, осуществляемое через соответствие между временами релаксации и частотой флуктуаций. Рассматривая организм с циркадной организацией с позиций теории познавания, мы можем сказать, что система предполагает существование примерно 24-часового ритма одной или более переменных окружающей среды и мера ее познавательного успеха задается кросс-корреляцией или функцией согласованности переменных системы и внешней периодичности. Тот же самый подход можно использовать и при анализе организации событий во время клеточного цикла. Здесь рассматривается устойчивость частотных и фазовых соотношений между активностями составных частей системы, такими, как инициация репликации ДНК, почкообразование (скажем, в дрожжах), миграция ядер

и клеточное деление. Процесс почкообразования, который у отдельных мутантов происходит независимо от репликации ДНК (Hartwell et al., 1974), характеризуется определенной вероятностью по отношению к процессам репликации хромосом, митоза и миграции ядер, и наоборот. Познавательная способность, проявленная системой в целом, задается кросс-корреляцией между этими процессами, которая оценивает эту согласованность.

Когда наряду с временными факторами рассматриваются и пространственные, ситуация усложняется, но в принципе подход остается тем же самым. Очевидный пример ответа на сигнал с пространственным распределением энергии представляет собой узнавание белками различных молекул. Познавательный успех этого распознавания зависит от сложного резонансного соответствия между частотами пространственно-временных колебаний в белке и в молекуле, с которой он взаимодействует. Резонансное соответствие между белком и лигандом возможно из-за существования определенных инвариантов молекулярной структуры и активности; эти свойства используются для инициации специфических изменений состояния в комплексе белок—лиганд, которые вносят свой вклад в общую устойчивость организма. Таким образом, можно сказать, что белок имеет полезное описание молекулы, с которой он взаимодействует.

Итак, при подходе к организму как к познающей системе организм представляют в виде совокупности частей, каждая из которых функционирует исходя из описания определенных свойств самой системы и (или) ее окружения. Наиболее очевидным примером молекулы с полезным описанием самой себя является двойная спираль ДНК. Составные части познающей системы имеют некоторую автономность, но целое восстанавливается только при рассмотрении сопряжений или взаимодействий между переменными (сигналами), которые приводят к координированному поведению, оцениваемому с помощью кросскорреляций. Таким образом, популяция частично автономных наблюдателей и операторов становится единым целым.

Как установлено выше, в общем случае операторы будут более сложными, чем простые операторы усреднения типа оператора (7.1). В общем случае можно считать, что описания являются категориями, — функторами (McLane, 1971). Тогда каждая категория представляет частное описание события Е и организм использует некоторый конечный набор этих описаний . Расширив последовательность, изображенную на рис. 7.1, неограниченно в обе стороны, мы получим формальную схему для создания потенциального набора описаний любого события и, следовательно, набора, из которого организмы могут делать свой выбор согласно истории своего эволюционного развития.

Мы видим, что никакой конечный набор не дает полного знания о его можно получить только исходя из пространства, задаваемого набором всех последовательностей , где точка пространства называемого пространством произведений и обозначаемого как

Это так называемое обратное предельное пространство, и именно с его свойствами связана топология обратных предельных систем. В рассмотренном выше примере отображение — функционал, а именно выражение (7.1), которое отображает функции времени на другие функции времени. Эти последние образуют пространства интегрируемых по Лебегу функций — бесконечномерные банаховы пространства.

Причина использования обратных предельных систем для формализации соотношений между уровнями функциональной иерархии, применяемой при анализе биологической организации, состоит в том, что это позволяет выявить два момента. Первое — показать, что в рамках теории познавания любой организм функционирует на основе ограниченного набора описаний мира, выбирая некоторый поднабор из обратного предельного пространства, которое, можно сказать, содержит все возможные описания. Всеобщность схемы, полученной при использовании категорий и функторов несомненно, очень велика, и вряд ли она имеет большую ценность при рассмотрении физиологической организации, в которой главные ограничения, действующие при упорядочении иерархии, сводятся к пространственным и временным ограничениям, рассмотренным выше. Однако, когда мы подходим к вопросам, касающимся поведения и психологии, особенно последней, где вступают в действие символические описания мира и отношения между описанием и сферой действия становятся все более и более неуловимыми, уровень абстракции, необходимый для идентификации природы соответствий или отображений между уровнями, вероятно, нуждается в математической структуре именно такого высокого порядка. Чтобы избежать тривиального сведения анализа круга вопросов, которыми занимается психология, к рассмотрению физиологических принципов и при этом сохранить принцип основных структурных и функциональных соответствий между психологией и физиологией, нужна потенциальная мощь подхода, основанного на обратной предельной системе. На этом уровне описание системы, представленное рис. 7.1, становится сетью взаимодействий произвольно высокой размерности и функциональной упорядоченности.

Вторая причина обращения к общей топологической модели, типа обратной предельной системы, для представления

иерархии уровней в организме связана с возможностью использовать математическую структуру этой теории для изучения некоторых основных свойств процессов познавания, определенных здесь. Я не достаточно компетентен в этом вопросе, чтобы обсуждать его, однако хочу остановиться на одном интересном аспекте топологии, который, по-видимому, относится к изучению организмов с точки зрения теории познавания. Это представление, так же как и предложение использовать обратные предельные системы к кругу вопросов, упомянутому выше, принадлежит д-ру Питеру Антонелли.

Существует область топологии, названная теорией гомологий Чеха, с помощью которой, грубо говоря, можно построить минимальные поверхности для пространств или категорий Эти минимальные поверхности дают простейшую характеристику рассматриваемой топологической системы, так что методом гомологий Чеха можно выявить основу структуры описания. Метод представляет собой операцию минимизации на множестве описаний, состоящую в выборе того описания, которое при данных условиях проще или, образно говоря, изящнее. В плане теории познавания такой метод представляет глубокий интерес, так как с его помощью мы можем получить точный подход к проблеме оценки описания с точки зрения максимальной простоты или изящества. Чтобы выяснить ценность этого подхода для биологии, необходимы гораздо более глубокие исследования, однако это, по-видимому, многообещающее направление; с его помощью можно подойти к вопросам, связанным с творчеством и интуицией, часто рассматриваемым как не подлежащие точному определению.