Аналогия со статистической термодинамикой

Один из возможных подходов к анализу динамики клеточного поведения состоит в проведении аналогии между клеткой, рассматриваемой как скопление взаимодействующих цепей управления, и газом, представляющим собой скопление взаимодействующих молекул. С первого взгляда может показаться, что эта аналогия очень мало перспективна. Агрегатные свойства газа, такие, как его температура, давление, объем и сжимаемость, могут быть вычислены путем усреднения исходя из свойств отдельных молекул (массы, скорости, степеней свободы) и их взаимодействий, т. е. с помощью статистической термодинамики. Применимость такого усреднения зависит от того, насколько отдельные молекулы ведут себя независимо друг от друга, т. е. в какой степени отсутствует кооперативность или коллективные свойства. Возникающие ограничения обусловлены наличием таких дающих коллективные эффекты взаимодействий, как вандерваальсовы, электромагнитные и ряд других. Однако методы статистической термодинамики применимы и в этих случаях; они применимы также и в случае жидкостей и кристаллов, где ограничения еще более строгие. Статистический подход имеет важное значение и представляет большой интерес; он позволяет исследовать и анализировать, например, природу фазовых переходов. В последней главе, где будут обсуждаться последствия кооперативных взаимодействий, я рассмотрю приложение некоторых из этих методов к таким явлениям, как клеточный рост и возбудимость мембран. Пока же представляется интересным посмотреть, что получится, если клетку считать совокупностью функциональных единиц, регулируемых особой динамикой управления, в предположении, что эти единицы слабо взаимодействуют друг с другом и коллективное поведение отсутствует.

Я довольно подробно рассмотрел такой режим работы клетки в книге «Временная организация клетки». Моя диссертация, написанная в 1959 г. и послужившая основой для этой книги, базировалась на представлениях о генной регуляции, предшествовавших теории репрессии по типу обратной связи, которая возникла в начале 60-х годов. Это была теория плазмагена, разработанная в основном Спигельманом и Рейнером (Spiegelman, Reiner, 1947) и Спигельманом (Spiegelman, 1948) для объяснения

ферментативной адаптации в дрожжах. Моно (Monod, 1947) в своем обзоре ссылается на эту теорию и обсуждает ее модифицированную форму. В основе теории лежало представление о том, что регуляция генной активности в клетках связана главным образом с установлением равновесия между конкурирующими автокаталитическими или самореплицирующимися единицами, соотношения между которыми могли меняться под действием различных факторов окружающей среды, например субстратов. Это модель внутриклеточных процессов чисто эволюционного типа, в которой на систему самовоспроизводящихся и конкурирующих единиц действуют силы естественного отбора. До тех пора пока в конце пятидесятых — начале шестидесятых годов в клеточной биологии не стали использоваться представления о молекулярных процессах регуляции по типу обратной связи, модели клеточной дифференцировки, основанные на эволюционных принципах, были слишком общими и восходили в действительности еще к Вильгельму Ру.

Рис. 2.7. Упрощенное представление репрессии по типу обратной связи. G — ген, R — полисомы, Е — ферменты, — субстрат, a S - продукт, который связывается с геном и репрессирует его.

Теория плазмагена была одной из них, являясь скорее моделью экосистемы, чем эволюционной моделью, так как она предполагала, что отбор обусловлен влиянием различных условий окружающей среды на уже существующий вид, и не рассматривала никакого аналога мутации генов. Теми единицами, из которых я сконструировал статистическую термодинамику поведения клетки, были самореплицирующиеся или автокаталитические ферментообразующие системы. Я считал, что между этими единицами существуют взаимодействия типа «хищник — жертва», обусловливающие колебательную динамику целой клетки, и рассмотрел определенный тип разрыва «температурной» функции, которую я использовал для объяснения клеточной дифференцировки. Однако, когда я стал понимать, какую роль играют специфические процессы, управляемые по типу обратной связи, в генной регуляции у прокариотов, в качестве основы для анализа я взял физиологическую единицу, аналогичную представленной на рис. 2.4. Функционально такая единица может быть сведена к более простому виду (рис. 2.7), если предположить, что один из элементов системы репрессии по типу обратной связи является узким местом в системе, и изображать только его. Тогда число стадий в последовательности ферментативных реакций будет зависеть

от того, какая петля считается узким местом. Если предположить, что мРНК (Х) определяет скорость белкового синтеза, а фермент (Y) ограничивает скорость образования субстрата для описания транскрипции и трансляции можно вывести очень приближенные уравнения. Считается также, что S ограничивает скорость транскрипции гена G. Эти предположения вполне правдоподобны, поскольку известно, что, если бы скорость ограничивалась каким-либо другим фактором (например, аминокислотами или белковым синтезом), цепь репрессии по типу обратной связи работала бы неэффективно. Используя для описания репрессивного действия S на ген выражение, аналогичное уравнению (1.10), мы можем записать

где в a и b включены все члены, соответствующие субстратам, скоростям и ферментам, участвующим в синтезе РНК; с — константа ассоциации комплекса репрессор — ген, содержащего n молекул S, d — константа скорости деградации мРНК. Для белкового синтеза мы можем использовать простое уравнение

где в входят все константы скоростей, члены, соответствующие субстратам и факторам, участвующим в белковом синтезе, a -константа скорости деградации белка. Наконец, предполагая, что концентрации субстратов настолько малы, что выражения Михаэлиса линейны и — константа, мы можем записать

Эти уравнения качественно подобны выведенным в предыдущей главе уравнениям системы (1.25), но все они, кроме уравнения (2.1), куда входит член, описывающий управление, содержат только линейные члены. Таким образом, исследование их устойчивости можно проводить тем же методом, которым мы пользовались в предыдущей главе — линеаризацией и определением корней характеристических уравнений. Здесь еще раз оказываются очень ценными исследования Уолтера (Walter, 1969, 1970), Виниэгра-Гонзалеса и Мартинеса (Viniegra-Gonzales, Martinez, 1969) и Раппа (Rapp, 1975), которые показывают, какой должна быть зависимость между числом стадий в цепи реакций и стехиометрией управляющей реакции (значением ),

чтобы имели место устойчивость или неустойчивость (колебательный режим).

Чтобы продолжить аналогию со статистической механикой, необходимо преобразовать уравнения (2.1) — (2.3) так, чтобы их можно было проинтегрировать и получить первый интеграл движения; для этого нужно представить уравнения в консервативной форме.

Члены в уравнениях (2.1) и (2.2) соответственно должны быть заменены константами d и f. Это означает, что вместо того, чтобы считать скорости деградации пропорциональными концентрациям деградирующих молекул, мы предполагаем, что мРНК и белок деградируют с постоянной скоростью. Это соответствует особым условиям, при которых рибонуклеазы и протеазы всегда присутствуют в скорость - лимитирующих концентрациях, а мРНК и белок инактивируются только в ходе каталитической деградации. Ясно, что эти предположения несут с собой некоторые ограничения, но, как увидим позднее, эти ограничения не так сильны, как можно было бы ожидать.

Дальнейшее упрощение можно получить, воспользовавшись ранее отмеченным различием в характеристических временах ответов эпигенетической и метаболической систем. Уравнение (2.3) описывает метаболические превращения S. Это означает, что время протекания этой реакции гораздо меньше времени, необходимого для значительного изменения У; поэтому мы можем принять, что S всегда находится приблизительно в стационарном состоянии, и записать:

Отсюда и можно исключить S из уравнения (2.1). Для простоты примем тогда получим систему уравнений следующего вида:

Теперь эти уравнения можно проинтегрировать:

Константа определяется начальными условиями для переменных X и Y.

Теперь, когда мы имеем интеграл, необходимо понять, что он означает. Это легче всего сделать, преобразовав систему уравнений (2.4) к новым переменным, определенным следующим образом:

где X и Y — стационарные значения переменных, полученные из уравнений (2.4) при . Тогда система уравнений примет вид

где

После интегрирования получаем

Если уравнение описывает замкнутую кривую на плоскости ху. Это следует из того, что любая прямая у = k, где k — константа, пересекает кривую в двух точках, решениях уравнения

которые будут действительны, если правая часть неотрицательна. Так же легко можно показать, что любая прямая , где k — константа, всегда пересечет кривую в двух точках, решениях уравнения

опять-таки при условии, что правая часть неотрицательна. Кривая такого типа изображена на рис. 2.8. Нелинейность члена, описывающего управление в системе уравнений (2.5), приводит к тому, что она имеет форму яйца, которое казалось мне тогда многообещающим источником целой биологической теории. К сожалению, ничего из этого яйца так и не вылупилось.

Следовательно, система уравнений (2.5) описывает непрерывные колебания, т. е. переменные претерпевают непрерывные циклические изменения относительно своих стационарных значений. Поэтому любое построение статистико-механического типа, основанное на таких уравнениях, может дать нам представление о характере ритмических изменений, обусловленных

колебаниями в цепях репрессии по типу обратной связи. Исходя из наших оценок эпигенетических времен релаксации, можно ожидать, что периоды таких колебаний будут составлять несколько часов. В основе какого свойства клеток могли бы лежать эти ритмы? Одним очевидным кандидатом на эту роль представляется сам клеточный цикл, хотя для того, чтобы достаточно точно смоделировать этот процесс, необходимо преобразовать уравнения.

Рис. 2.8. Замкнутая кривая зависимости у от х, описываемая уравнением (2.6).

Другая возможность — это биологические часы, где непрерывные колебания происходят с периодами, близкими к 24 ч. Согласно определению, данному в этой главе, оба эти явления эпигенетические, и их можно анализировать описанными методами. Чтобы построить статистическую механику системы, элементы которой описываются уравнениями (2.5) или аналогичными им более сложными уравнениями, необходимо исходить из интегралов типа (2.6) по одному для каждой цепи управления, считая, что все эти цепи вносят свой вклад в динамику системы, и затем с их помощью построить функцию распределения плотности. Эта функция дает вероятность реализации любого возможного состояния динамической системы, состоящей из всех цепей управления и их взаимодействий, как бы они ни были определены. Затем можно попытаться выяснить различные свойства либо целого, либо частей. Операция объединения частей в сложное целое такого типа позволяет использовать ряд довольно мощных аналитических методов и получить статистические ответы на вопросы, которые обычно не удается разрешить, если задавать их в рамках детерминированной системы, с которой начался анализ, а именно системы уравнений, подобных (2.5).

Здесь можно вернуться к выводу уравнений (2.5) и возразить, что предположения, сделанные при их выводе, настолько жесткие, что с самого начала делают применение этих уравнений невозможным. Например, легко показать, что исходные уравнения (2.1) — (2.3) не имеют колебательных решений, если и что колебания возникают только потому, что не включены члены, описывающие распад соединений в соответствии

с законом действующих масс. Однако в целом ясно, что если детерминированные уравнения учитывают стохастические свойства и временные запаздывания, так что параметры могут случайным образом флуктуировать, то ранее устойчивая система может стать неустойчивой, проявляя колебательные свойства. Тайвери и Фрэзер (Tiwari, Fraser, 1973) недавно показали, что именно это и происходит с уравнениями (2.1) — (2.3), когда учитываются неизбежные шумы и случайные задержки внутриклеточных молекулярных событий с помощью введения элемента случайности в процесс перемещения мРНК от гена (ДНК) к рибосоме, процессы деградации макромолекул и трансляции. Таким образом, уравнения (2.5), «встроенные» в вероятностный ансамбль статистической механики, могут дать довольно точное описание внутриклеточных процессов.

Есть, однако, более существенное возражение. Оно состоит в том, что такие методы по существу сводятся к операциям усреднения, которые для современного биологического исследования имеют ограниченную ценность. Нас интересует главным образом упорядоченность, являющаяся результатом порядка, а не упорядоченность, возникающая из беспорядка, как это предположил Шредингер в своей очень интересной и до сих пор не утратившей своего значения монографии «Что такое жизнь?» (Schrodinger, 1948). Основная идея этой книги состоит в том, что статистическая механика оказывается моделью, не соответствующей биологическим процессам, потому что упорядоченность организма обусловлена не усреднением по большому числу элементарных событий, а определяется динамическим сопряжением особого рода, позволяющим избежать диссипации энергии в виде тепла или теплового шума. Однако анализ свойств таких динамически упорядоченных систем нельзя считать несовместимым с постулатами статистической механики, и Марковицем (Markowitz, 1971), Мак-Кларом (McClare, 1971), Корнекером (Kornacker, 1972) и Марковицем и Нисбетом (Markowitz, Nisbet, 1973) в этом плане проведены исследования сопряженных упорядоченных биологических систем. Довольно общий подход к изучению упорядоченности в биологии с точки зрения термодинамики был разработан Глансдорфом и Приго-жиным (Glansdorff, Prigogine, 1971), которые ввели понятие, названное ими диссипативной структурой; это такая структура, которая поддерживает свою упорядоченность, утилизируя или диссипируя энергию. Речь идет, конечно, об открытой системе, с которой познакомили биологов фон Берталанфи (von Berta-lanffy, 1952) и другие исследователи более чем два десятилетия назад. Результат работы Пригожина и его коллег состоит в том, что они показали, каковы некоторые необходимые термодинамические условия существования отдельных классов динамических

свойств в системах, далеких от равновесия. Но в их анализе отсутствует термодинамическое (макроскопическое) описание этих диссипативных структур. Аналитические методы феноменологического описания стационарных состояний динамически упорядоченных открытых систем были разработаны лишь сравнительно недавно, да и то не все из них являются бесспорными. Я рассмотрю их приложение к некоторым биологическим процессам в последней главе.