§ 2. Неравенство Иенсена

Функция, определенная в интервале , называется выпуклой (снизу) в , если для любых двух значений из имеем:

Если имеет место неравенство, где знак заменен на , то функция называется вогнутой (снизу). Если, кроме того, равенство достигается лишь в том случае, когда то функция называется выпуклой (соответственно вогнутой) в узком смысле.

Докажем теперь следующее неравенство Иенсена.

Если функция выпукла в некотором интервале, то для любых значений из этого интервала

Если при этом функция выпукла в узком смысле, то равенство достигается только при

Для вогнутой функции имеет место такое же неравенство, где знак заменен на

Сначала докажем (1) для :

С помощью этого неравенства и определения выпуклости выводится подобное же неравенство для и затем, аналогичным образом, для и

Покажем теперь, что из справедливости неравенства (1) для определенного значения вытекает его справедливость для . Действительно, положив

мы получим:

В таком случае из (1) следует:

Этим уже полностью доказано общее неравенство (1). Случай равенства здесь очевиден.

Если выпуклая функция является также непрерывной (что обязательно имеет место, ) ограниченна то выполняется более общее неравенство:

где — любые положительные значения. Действительно, в силу непрерывности достаточно убедиться, что это неравенство выполняется для рациональных значений q, ил i, что то же самое, что оно выполняется для целых q. Но это непосредственно следует из венства (1), где среди величин некоторые совпадают.

Достаточным (но не необходимым!) условием выпуклости функции является монотонный рост в данном интервале производной Это условие заведомо выполняется, если

В случае неравенство Иенсена совпадает с доказанной Коши теоремой о том, что среднее геометрическое каких-либо положительных величин не превосходит их среднего арифметического. Также и неравенства (I, 3, 1) и (I, 3, 2) представляют собой простые следствия неравенства Иенсена (1). Так, например, периметр L вписанного в единичный круг выпуклого -угольника равен , где - дуги окружности, отвечающее сторонам многоугольника. Так как есть выпуклая функция, то имеем

Применим теперь неравенство Иенсена для доказательства формулы (1, 5, 7).

Мы докажем даже более общее утверждение: если суть расстояния от некоторой внутренней точки О выпуклого -угольника до его вершин, — расстояния от О до сторон -угольника, то

Обозначим последовательные вершины «-угольника через (расстояние от 0 до равно - Р; расстояние от 0 до равно ); угол обозначим через Сдвинем точки Р и вдоль прямых так, чтобы площадь треугольника осталась неизменной; все возможные прямые будут огибать гиперболу с асимптотами ОР, и Так как из всех касательных гиперболы от ее центра более всего удалена та, которая образует с асимптотам i равные углы, то Отсюла следует:

сложив эти неравенства для , получим:

Так как в 0, есть вогнутая функция, то имеем:

то есть

что и требовалось доказать.

В датьнейшем мы будем также часто иметь дело с неравенством Иенсена для выпуклых функций двух переменных. Функцию , определенную в выпуклой области В плоскости , мы называем выпуклой, если любых двух точек из В имеет место неравенство

аналогично определяется вогнутость функции двух переменных.

Из этого определения аналогично изложенному выводится, что если — выпуклая функция, то для любых точек из В имеет место неравенство

Достаточным условием выпуклости или вогнутостн функции является существование непрерывных вторых производных и положительность составленного из них определителя Выполнение неравенства означает, что точки поверхности являются эллиптическими [31]. Для того чтобы выяснить, выпукла или вогнута в этом случае функция надо исследовать знак или Если (а следовательно, также и ), то функция выпукла; напротив, если то функция вогнута. Если эти последние условия выполнены, то выпукла, соответственно вогнута, также и в случае, когда Рассмотрим функцию

в этом случае , и следовательно, функция z вогнута:

Если положить , то получим неравенство

которое в случае переходит в неравенство Коши

Упомянем еще интегральное неравенство

которое можно получить, если применить неравенство (2) к соответствующим интегральным суммам.

Важнейшим частным случаем последнего неравенства является неравенство Шварца [32]