§ 3. Экономичность заполнения и покрытия фигурами данной последовательности

Рассмотрим бесконечную последовательность выпуклых фигур радиусы вписанных кругов в которые имеют положительную нижнюю грань , а радиусы описанных кругов — конечную верхнюю грань R. Назовем такую последовательность выпуклых фигур нормальной последовательностью. Пусть далее Т - заданная выпуклая область, — наименьшая подобная Т выпуклая область, в которой можно расположить без пересечения первые фигур -наибольшая подобная Т область, которую можно полностью покрыть фигурами — общая площадь первых фигур. В таком случае очевидно, что если

то

Далее нетрудно показать, что не зависят от выбора области Т. Число w показывает, какую часть плоскости можно заполнить рассматриваемыми выпуклыми фигурами при условии наиболее тесного их расположения; аналогично W можно истолковать как число, показывающее, какая часть полной суммы площадей выпуклых фигур полезно используется при наиболее экономичном покрытии ими плоскости. Мы назовем эти числа w и W экономичностью заполнения, соответственно экономичностью покрытия, отвечающими данной нормальной последовательности выпуклых фигур.

Для последовательности равных выпуклых фигур совпадают с плотностями плотнейшего заполнения, соответственно редчайшего покрытия. Для случая равных кругов

в то время как для равных четырехугольников (или, более обще, для любых равных выпуклых областей замощения), очевидно,

Заметим теперь:

Если через w и W обозначить нижнюю грань экономичности заполнения, соответственно нижнюю грань экономичности покрытия для последовательностей равных выпуклых фигур, то

где - экономичность заполнения и покрытия для любой нормальной последовательности выпуклых фигур.

Основные задачи, поставленные во введении к этой главе, требуют как раз определения величин w и W. Если бы они были известны, то неравенства (1) дали бы нам точные нижние границы экономичности заполнения и покрытия w и W для любой нормальной последовательности.

Во всяком случае, учитывая неравенства (1,1) и (1,2), мы можем быть уверены, что для произвольной нормальной последовательности выпуклых фигур

В ьеравенствах (1) w и U можно заменить теми значениями, которые получаются, если рассматривать не всевозможные выпуклые фигуры, а только те, которые встречаются в данной нормальной последовательности. Отсюда следует, например, что для произвольной нормальной последовательности центрально симметричных выпуклых фигур имеет место точная оценка

и предположительная

Отсюда вытекает также тот не тривиальный факт, что для произвольной нормальной последовательности выпуклых четырехугольников (или произвольных выпуклых многоугольников замощения)

Доказательства обоих неравенств (1) совершенно аналогичны; поэтому мы ограничимся здесь лишь вторым из них. Доказательство основывается на «теореме выбора» Бляшке, согласно которой выпуклые фигуры произвольной нормальной последовательности, пренебрегая некоторой ошибкой, которую можно считать сколь угодно малой, можно заменить конечным их числом . В соответствии с нашими целями придадим этому утверждению следующую точную формулировку. Пусть произвольно зад нная нормальная последовательность выпуклых фигур — число, тоже заданное произвольно. Тогда можно указать конечное число N выпуклых фигур таких, что фигуры можно разбить на N классов, причем если, например принадлежит классу, то но , и фигуру можно покрыть фигурой

Так как конечное число выпуклых фигур не может изменить экономичности покрытия W, то мы можем считать, что каждый класс содержит бесконечно много выпуклых фигур

Обозначим число выпуклых фигур класса, номер которых не превосходит , через и систему этих выпуклых фигур а также и сумму их площадей, через -Пусть, далее, — наибольшие квадраты, которые можно покрыть последовательностью фигур, соответственно фигурами, равными . Так как , то, согласно определению

Следовательно, существует такой номер v, что для всех

и поэтому

Разобьем теперь квадраты несколькими прямолинейными сечениями на ряд кусков, из которых можно сложить один квадрат (это можно сделать различными способами, см., например, Рауз Белл и Коксетер ; затем таким же способом объединим полученный квадрат и в один новый квадрат и т. д. Продолжая этот процесс, мы разобьем N квадратов на определенное число кусков, из которых можно сложить один новый квадрат при этом разбивается на куски k сечениями, то общее число сечений, нужных для того, чтобы разбить все N квадратов на куски, из которых можно сложить один квадрат, будет равно . Общая длина L отрезков в отвечающих проведенным сечениям, удовлетворяет неравенству

где R - верхняя грань величина радиуса описанного круга наших выпуклых фигур.

Так как в процессе разрезания квадратов определенное число выпуклых фигур, покрывающих эти квадраты, будет повреждено, то в общем случае нельзя покрыть выпуклыми фигурами

Однако поврежденные выпуклые фигуры все лежат в параллельной оболочке ширины системы отрезков L, а эта параллельная оболочка может быть покрыта кругами радиуса , где — нижняя грань величины радиуса вписанного круга наших выпуклых фигур, а с — постоянная, зависящая только от . Следовательно, можно покрыть выпуклыми фигурами Если обозначить через наибольший квадрат, который можно покрыть системой выпуклых фигур, то будем иметь :

Так как это неравенство имеет место при любом то что и требовалось доказать.

С помощью подобного же рассуждения из (2,4) можно вывести следующую точную оценку для произведения экономичностей w и W для произвольной нормальной последовательности центрально-симметричных выпуклых фигур:

Произведение можно истолковать Как отношение площади наибольшей области, которая может быть покрыта рассматриваемыми выпуклыми фигурами, и площади наименьшей области, которую можно заполнить этими же выпуклыми фигурами.