§ 13. Исторические замечания

Правильные многоугольники обладают целым рядом давно известных экстремальных свойств. Однако поразительно, что в старой литературе не встречается ни одного экстремального свойства правильного икосаэдра или додекаэдра. Еще труднее указать какое-либо систематическое изложение экстремальных свойств правильных многогранников. В этом, вероятно, виновно то обстоятельство, что все внимание здесь было обращено на сравнительно трудную изопериметрическую задачу.

Неравенство (7,4) открыл Гольдберг [1]. Его доказательство основывается на неравенстве (4,2), которое он обосновывал с помощью тех умозаключений, которые составляли содержание первого неполного доказательства, приведенного в § 4. Следовательно, доказательство Гольдберга можно считать точным лишь после заполнения указанных в этом параграфе неприятных пробелов. Этим же способом, независимо от Гольдберга, получил (7,4) автор [12|. Здесь была четко отмечена не преодоленная еще трудность в указанном доказательстве и была с помощью графиков проиллюстрирована выпуклость рассматриваемой функции. Строгое доказательство, основанное на рассуждениях § 8, так же как и второе доказательство в § 4, идут от автора [21, 29]. Дальнейшие замечания, касающиеся изопериметрической задачи, имеются в статье [2] Гольдберга и в статье [38] автора.

Другие результаты гл. V извлечены из работ [9 13. 18 -21, 23, 25, 27 30, 36] автора.

Неравенство (1,1) одновременно с автором нашел Хадвигер, а позднее также Хабихт и Ван дер Варден [1].

Впрочем, рассматриваемый здесь круг задач представляет собой неистощимую сокровищницу привлекательных проблем, из которой до сих пор затронут только самый верхний слой. Эти исследования могут быть продолжены в двух главных направлениях. Во-первых, можно рассмотреть другие экстремальные задачи для много ранников с данным числом вершин или граней, которые приводят к правильным многогранникам с треугольными гранями или с трехгранными углами. Во-вторых, можно пробовать так обобщить само содержание определенных зааач, относящихся к многогранникам с вершинами или с и гранями, чтобы получить соответствующие оценки для многогранников, у которых одновременно заданы и число вершин и число граней, с тем, чтобы эти оценки оказывались точными для всех правильных тел.

Упомянем, например, следующую интересную, но довольно трудную задачу: пусть на сфере задано материальных точек, снабженных одинаковыми электрическими зарядами; предполагая, что эти точки могут свободно двигаться по сфере, требуется найти расположение точек, отвечающих их устойчивому равновесию, т. е. такое расположение, при котором собственный потенциал точек достигает абсолютного минимума (ср. Фёппль [1]). Еще не доказано даже, что решение этой задачи при дается вершинами правильных многогранников . В этом случае, разумеется, нельзя говорить об обобщении поставленной за чачи в перечисленных выше двух направлениях. Для того чтобы указать возможности такого обобщения мы упомянем, кроме уже названных выше теорем и гипотез, еще один новый пример. Обозначим расстояния от произвольной внутренней точки О выпуклого многогранника до его вершин и до его граней соответственно через . В таком случае, если суть числа ребер, выходящих из различных вершин, и числа сторон различных граней то, по-видимому.

это есть объединение неравенств (3,5) и (3,6) в одну единую теорему.

Можно также ввести в рассмотрение расстояние от точки О до ребер многогранника; при этом возникнут и другие аналогичные задачи.

Рассмотрим теперь оценки для поверхности F многогранника, аналогичные неравенствам, упомянутым в начале § 6:

Первое из них эквивалентно Напротив, попытки доказательства второго из этих неравенств наталкиваются на известные трудности. Докажем здесь это неравенство при условии, что основания перпендикуляров, опущенных из центра вписанной сферы на ребра многогранника, лежат на соответствующих ребрах (не на их продолжениях).

Доказательство является двойственным для второго доказательства неравенства (4,1). приведенного в § 4. Обозначения здесь мы также заимствуем из § 4 с тем различием, что теперь вписанная сфера единичного радиуса будет играть роль, которую прежде играла описанная сфера. Мы имеем теперь и, следовательно,

Так как, однако, в силу

функция при вогнута, то

что и требовалось доказать.

Для произвольного выпуклого многогранника это доказательство не проходит по следующим причинам. Мы можем гак изменять внутри описанной сферы грань многогранника, что число ее сторон и птощадь центральной проекции на описанную сферу останутся неизменными.

Если меньше некоторой определенной постоянной, зависящей только от числа то достигает для правильного -угольника, вписанного в описанную сферу, только относительного максимума, а абсолютный максимум достигается для многоугольника такого, что основание А перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость многоугольника, лежит вне Далее, так как рассматриваемая оценка, вообще говоря, для невыпуклых многогранников, очевидно, не сохраняет силу, то при доказательстве должна быть существенно использована выпуклость.

Из приведенных неравенств для F может быть выведено также и неравенство (6,1). А так как для многогранника с данным числом вершин и граней, для которого отношение — Достигает наименьшей возможной величины, вышеупомянутое условие относительно оснований перпендикуляров, вероятно, выполняется автоматически, то мы тем самым подтверждаем неравенство (6,1) еще с другой стороны.

Иные задачи возникают, если привлечь к рассмотрению кривизну ребер сумму внутренних пространственных углов при вершинах многогранника, диаметр наибольшей сферы с центром во внутренней точке многогранника, не пересекающей ни одного ребра, и т. д. В качестве примера конкретных экстремальных задач можно упомянуть о проблемах определения нижней границы суммы длин ребер выпуклых многогранников данного объема или данной площади поверхности; представляется вероятным, что при заданной площади поверхности эта нижняя граница не достигается ни для какого многогранника. Некоторые специальные результаты, связанные с суммой длин ребер, имеются в работах Сансоне [1] и Хаммерсли [1].

Было бы желательно доказать формулы (12,1) и (12,2) при единственном предположении выпуклости. Для этого необходимо тщательно продумать все содержание § 12 в условиях отказа от определенных условий регулярности. Далее интересные, но трудные задачи возникают в связи с задачами о заполнении и покрытии выпуклой поверхности геодезическими кругами.

Упомянем еще о следующих замечательных результатах, недавно найденных Молнаром

Если в выпуклой сферической области G расположены по крайней мере три равных (сферических) круга, или если G покрыта по крайней мере тремя равными (сферическими) кругами, то плотность расположения, соответственно плотность покрытия меньше или больше При этом сферическая область G называется выпуклой, если каждые две точки О можно соединить дугой большой окружности, лежащей в G. Эти теоремы, естественно, связывают аналогичные теоремы, относящиеся к выпуклой области на плоскости и ко всей поверхности сферы.

Встает вопрос, можно ли перенести также в сферическую геометрию теорему Банга о покрытии выпуклой фигуры полосами. Другими словами, спрашивается, следует ли из возможности покрыть выпуклую сферическую область конечным числом двуугольников общей площади Т то, что ее можно покрыть одним двуугольником площади Т?

В заключение бросим еще взгляд на так называемую гиперболическую геометрию, приблизительно одновременно открытую венгерским математиком Я. Бойяи (1802—1860) и русским математиком Н. И. Лобачевским (1793 1856). Как известно, формулы гиперболической тригонометрии можно получить из формул сферической геометрии заменой радиуса R сферы мнимым радиусом . Так, например, из сферической теоремы синусов

при замене R на мы получаем теорему

действительно выполняющуюся в гиперболической геометрии. В связи с этим формальным совпадением часть гиперболической плоскости, как впервые заметил Бельтрами, можно реализовать на поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны — где роль прямых играют геодезические линии поверхности. Поэтому гиперболическую плоскость можно рассматривать как сферу мнимого радиуса

Гиперболическая плоскость — этот «новый, иной мир» Бойяи — много богаче регулярными сетями, чем обычная сфера и евклидова плоскость. А именно для каждой пары чисел можно найти регулярное разложение обычной сферы, или евклидовой плоскости, или гиперболической плоскости, причем для каждой пары чисел реализуется только одна из этих трех возможностей. Можно поэтому предположить, что в тех проблемах расположения, которые относятся к внутренней геометрии сферы можно достигнуть определенной законченности лишь посредством привлечения сферы мнимого радиуса. Мы поясним это на примере плотнейшей упаковки кругов.

Можно [с помощью рассуждений, приведенных в связи с черт. 97 (стр. 186)] показать, что на центры кругов насыщенной сферической системы из равных не пересекающихся кругов (по крайней мере трех) всегда можно натянуть треугольную сеть так, что плотность заполнения каждого треугольника не будет превосходить плотности заполнения тремя равными попарно касающимися кругами треугольника, образованного их центрами. Это обстоятельство сохраняет силу также и для гиперболической плоскости (см. работу [39] автора). Отсюда вытекает, что при каждом «разумном» определении плотности расположения имеет место следующее предложение.

Если сфера действительного или мнимого радиуса R заполнена равными кругами (по крайней мере тремя) радиуса , то плотность заполнения

При этом равенство здесь имеет место для каждой системы выписанных кругов правильного разбиения сферы, в каждой вершине которого сходятся три ребра («все углы являются трехгранными»); таким образом эта оценка достигается для всех целочисленных значений При этом k здесь означает число кругов, которье окружают один круг.

Случаи можно реализовать на обыкновенной сфере, предельный случай на евклидовой плоскости, а случаи — на гиперболической плоскости.

Указанная выше граница для D при стремится, убывая, к пределу Отсюда мы получаем замечательное соотношение