§ 2. Задача о теснейшей упаковке шаров

Г. С. М. Коксетер пишет в одном реферате (Math. Reviews 9, 53, 1948): «Плотнейшая упаковка равных кругов на плоскости очевидна: каждый круг окружают шесть других.

Шары, экваторами которых являются эти круги, образуют «шестиугольный слой». Представляется (однако никому еще не удалось это доказать), что каждая плотнейшая упаковка равных шаров в пространстве должна быть построена из таких шестиугольных слоев».

Согласна сказанному в предыдущем параграфе можно уточнить высказанное здесь предположение следующим образом: если D есть плотность произвольной системы равных материальных шаров, то всегда

причем равенство достигается в том и только в том случае, если расположение сотообразное. Сотообразные расположения определяются здесь совершенно аналогично случаю плоскости: говоря кратко, мы называем расположение шаров в пространстве сотообразным, если почти все ячейки близки к удвоенным сотам, описанным вокруг шара, в том смысле, что общий объем всех остальных ячеек является исчезающе малым по сравнению с общим объемом пространства.

Первый шаг по пути доказательства предложения (1) был сделан Блихфельдтом [2], который в 1929 г. доказал неравенство . Эту оценку Ранкин заменил несколько более сильной, однако все еще довольно грубой оценкой

Мы дадим здесь сначала простое доказательство неравенства

(2)

отличное от доказательства Блихфельдта. Употребляемые здесь рассуждения нетрудно несколько уточнить и получить благодаря этому более сильную оценку. Мы здесь не будем этого делать, а вместо этого дадим хотя и не совсем точное, однако с определенной точки зрения довольно удовлетворительное доказательство неравенства

Стоящая в правой части этого неравенства постоянная всего лишь меньше чем на превосходит постоянную

В заключение мы наметим метод, представляющийся годным для доказательства предположения (1); однако при проведении полного доказательства здесь могут встретиться еще довольно значительные технические трудности.

Предположим, что радиусы всех шаров равны 1 и обозначим основания перпендикуляров, опущенных из центра О шара К на грани его ячейки Z, через . В таком случае . Мы хотим определить наименьшее значение, которое при этих условиях может иметь

Удовлетворимся сначала грубой оценкой снизу объема Z. Для этого заметим, что на поверхности концентрического с К шара радиуса имеется не больше 18 точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше 1. Действительно, в силу из 19 точек поверхности шара всегда можно выбрать две такие точки, что расстояние между ними будет меньше чем

Отсюда немедленно вытекает, что в шаровом стое, ограниченном К и имеется не больше 18 точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше . Поэтому в силу (V.8.3)

Следовательно, плотность заполнения уже каждой отдельной ячейки меньше чем , что и доказывает неравенство (2).

Обратимся теперь к задаче о нахождении наименьшей среди всех возможных ячеек. Кроме того, что эта задача несравненно труднее, чем соответствующая задача на плоскости, в пространстве имеет место еще то неблагоприятное обстоятельство, что наименьшая ячейка не является замощающим многогранником. В силу этого плотность заполнения всего пространства не может достигать наименьшего значения, которое может иметь плотность заполнения одной ячейки. Следовательно, задача о плотнейшем заполнении пространства шарами на этом пути не может быть решена.

Мы увидим, что ячейка наименьшего возможного объема представляет собой описанные вокруг шара правильный додекаэдр, что может быть выражено неравенством

Для сравнения вычислим объем описанного удвоенного сота; он равен . Эта величина действительно больше вышеупомянутой.

Неравенство (4) показывает, что плотность заполнения каждой ячейки Z такова, что

что и составляет содержание утверждения (3). Так как, однако, пространство нельзя разбить на правильные додекаэдры, то неравенство (3) заведомо не является точным: плотность заполнения всего пространства шарами не может достигать величины

Очевидно, что важную роль для решения задачи об определении наименьшей ячейки играет вопрос о том, скольких равных материальных шаров может касаться материальный шар того же размера, или, другими словами, сколько точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше 1, можно расположить на поверхности единичного шара. Хотя неравенство допускает существование 13 таких точек и исключает только случай 14 точек, однако достаточно предпринять несколько попыток с материальными шарами, чтобы не остаюсь никакого сомнения в том, что искомое число равно 12. Однако хорошо известно, что строго доказать это утверждение уже является довольно сложной задачей; эта задача была решена только в самое последнее время

Чтобы пояснить, в чем здесь заключается трудность, заметим, что, в то время как монета, лежащая на сточе, может быть окружена шестью другими такими же монетами одним единственным способом, двенадцать материальных шаров могут быть приложены к другому такому же шару весьма различными способами.

Два подобных расположения связанные с двумя типами удвоенных сотов, нам уже известны (см. выше, рис. 116 и 118). Шар может также касаться двенадцати других равных ему шаров в вершинах вписанного правильного икосаэдра (рис. 121); при этом, так как длина ребра вписанного в единичный шар икосаэдра равна

т. е. больше 1, то так расположенные шары можно еще слегка двигать.

Ромбододекаэдрическое расположение обладает еще тем свойством, что подобная конфигурация в целом является подвижной, хотя ни один шар нельзя сдвинуть так, чтобы остальные остались на месте. А именно, шесть экваториальных шаров можно подвинуть одновременно, причем все расположение делается менее прочным и допускает движение остальных шаров. Таким способом ромбододекаэдрическое расположение можно перевести непрерывным движением шаров без разрыва контактов внешних шаров с внутренним в пятиугольнододекаэдрическое (икосаэдрическое) расположение.

Рис. 121.

Напротив, расположение, связанное со вторым типом удвоенного сота, является устойчивым.

Исходя из задачи о двенадцати касающихся шаргх, можно поставить и другой вопрос: как близко можно придвинуть шар, который касается двенадцати равновеликих материальных шаров, к другому материальному шару того же размера? Будем считать, что центральная сила притяжения, которая удерживает двенадцать шаров в состоянии касания с внутренним шаром, приложена к этому внутреннему шару; какое положение тринадцатого шара окажется в этом случае наиболее выгодным?

Мы будем исходить из икосаэдрического расположения шаров и начнем медленно вдвигать во впадину тринадцатый шар. Тогда эта впадина будет постепенно расширяться, в то время как диаметрально противоположная впадина сузится. Тринадцатый шар можно будет двигать до тех пор, пока эта последняя впадина не стянется совершенно, т. е. до тех пор, пока соответствующие (нижние) три шара не коснутся друг друга (рис. 122). В этом положении расстояние между центрами тринадцатого и внутреннего шаров будет равно

Рис. 122.

На рис. 123 изображена картина, которая получается при стереографической проекции на плоскость поверхности внутреннего шара, на которую спроектированы из центра двенадцать касающихся его шаров, расположенных подобным образом.

Опишем теперь еще более выгодную конфигурацию, найденную Бёрдьиком [1]. Положим шар на северный полюс «внутреннего» шара и добавим пять других шаров, касающихся северного шара так, что первый касается второго, второй — третьего и т. д. Если зеркально отразить эти шесть шаров от экваториальной плоскости внутреннего шара, то получится конфигурация, состоящая из двенадцати шаров, касающихся «внутреннего» шара; центры этих шаров, очевидно, являются вершинами выпуклого многогранника, ограниченного 4 квадратами, 1 прямоугольником, 8 равносторонними и 2 равнобедренными треугольниками (рис. 124).

Если вдвинуть тринадцатый шар в щель, образующуюся со стороны прямоугольной грани, то расстояние центра этого шара от центра «внутреннего» шара будет равно

эту величину мы обозначим через 2а. Предполагают, что и искомая экстремальная конфигурация совпадает с только что описанной и стало быть тринадцатый шар ни при каком расположении двенадцати касающихся шаров нельзя придвинуть ближе к внутреннему.

Рис. 123.

Если попытаться теперь подвинуть тринадцатый шар еще ближе к внутреннему, то о шовременно придется увеличить расстояние от центра внутреннего шара нескольких из двенадцати касающихся шаров. Сумма расстояний от центра внутреннего шара до центров окружающих его 13 шаров первоначально равная заслуживает специального рассмотрения. Весьма вероятно, что 14 точек , удотетворяюших неравенствам

удовлетворяют также неравенству

(5)

показывающему, что при указанной выше операции интересующая нас сумма расстояний только увеличится.

Из неравенства (5) следовало бы, что 13 точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше 1, не могут быть размещены не только на единичной сфере, но даже и на сфере радиуса Этого вполне можно ожидать. Согласно § 4 гл. VI радиус наименьшей сферы, на которой можно расположить подобным образом 13 точек, по-видимому, равен

Рис. 124.

Заметим здесь, что в то время как, например, общее неравенство и различные простые доказательства этого неравенства, так же как и методы, развитые в гл. VI, с точки зрения математики, по-видимому, представляют сами по себе некоторый интерес, строгое доказательство весьма специального неравенства (5) не стоит труда. Это неравенство можно было бы использовать лишь для исключения ячеек с более чем 12 гранями, т. е. для получения весьма грубых оценок. Мы будем поэтому рассматривать неравенство (5) как хорошо обоснованный эмпирический факт, доказательство которого довольно затруднительно и представляет незначительный интерес по сравнению, например, с рассуждениями § 8 гл. V, на которых главным образом основано доказательство неравенства (3). Впрочем, нам было бы достаточно доказать заметно более слабое неравенство:

Пусть S — шаровой слой, ограниченный сферой К и концентрической сферой радиуса

Если внутрь S попадают не больше двенадцати оснований перпендикуляров опущенных из центра К на грани Z, то неравенство (4) есть непосредственное следствие (V,8,3). Если же предположить, что, напротив, S содержит 13 точек то в силу неравенства (6)

Очень легко видеть, что при этих условиях обьем части ячейки Z, лежащей внутри достигает минимума, когда чем рассматриваемый случай сводится к тому случаю, когда внутри S лежат 12 точек Случай, когда в шаровом слое S содержится более чем 13 оснований перпендикуляров, может быть исключен аналогичным способом.

Как можно было бы получить точный верхний предел плотности заполнения?

Обратимся к пятиугольнододекаэдрической ячейке, отвечающей случаю икосаэдрического расположения двенадцати шаров, окружающих внутренний шар. Здесь каждый внешний шар имеет пять соседей, расстояние которых от него приблизительно равно 0,1. Нетрудно видеть, что объем ячейки такого шара будет существенно больше объема удвоенного сота, так что объемный дефицит правильного додекаэдра по сравнению с удвоенным сотом компенсируется избытком объема смежных ячеек. Эти рассуждения наводят на мысль учитывать не только объем одной отдельной ячейки, но также и смежные ячейки.

Для того чтобы реализовать эту основную идею, имеются различные возможности, из которых следующая представляется наиболее целесообразной. Назовем соседними два шара, расстояние между центрами которых меньше . Легко видеть, что два соседних шара одновременно являются смежными в том смысле, что их ячейки соприкасаются по общей грани.

В силу неравенства (5) каждый шар, по-видимому, может иметь не больше двенадцати соседних.

Выберем теперь определенный шар! Его ячейку мы обозначим через в то время как смежные ячейки — через . Рассмотрим среднее значение

и зададимся вопросом о том, при каком расположении шаров Z достигает минимума.

При поисках наилучшего расположения надо заботиться о том, чтобы придвинуть шары возможно ближе друг к другу, так чтобы ячейки стали возможно меньше. Эти требоьания приводят к условию при этом двенадцать «внешних» шаров должны касаться «внутреннего». Из двух подобных расположений приходится также исключить то, при котором шары обладают большей подвижностью. Наиболее благоприятными представляются оба расположения, связанные с удвоенными сотами, так как в этом случае ни один шар вообще не может быть сдвинут. Поэтому естественно полагать, что Z достигает минимума в том случае, когда и и все смежные ячейки являются удвоенными сотами. Это означает, что

Если бы удалось убедиться в этом, то предположение (1) было бы доказано. Действительно, если просуммировать неравенства (7), составленные для всех шаров, то в левой стороне каждая ячейка встретится точно двенадцать раз, а именно по одному разу в j неравенствах, которые относятся к шарам, соседним с данным, и (12 у) раз в неравенстве, соответствующем самому этому шару. Следовательно, слева мы получим просто объем всего пространства. С правой же стороны будет стоять число шаров, умноженное на , т. е. сумма объемов всех шаров, умноженная на Итак, отношение суммы объемов шаров к объему пространства, т. е. плотность заполнения, действительно, не будет превосходить

Кажется, что с помощью вышеупомянутых соображений удастся свести задачу о плотнейшем заполнении пространства шарами к задаче об определении минимума некоторой функции конечного числа переменных. Хотя точный аналяз этой последней задачи на минимум представляется весьма сложным, однако он отнюдь не производит впечатления безнадежного. Тем самым мы указываем принципиально выполнимую конкретную программу для решения задачи о плотнейшей упаковке шаров, что представляет собой еще один шаг к разъяснению этой проблемы.