ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА

[1] См. также Яглом И. М. и Болтянский В. Г. [1], Люстерник Л. А. [1].

[2] См., например, Хадвигер Г. [8], Штейнер Я.

[3] Аналогично этому кривизной вершины многогранника можно назвать выражение б) , где через обозначен плоский угол при вершине и суммирование распространено по всем плоским углам, сходящимся в рассматриваемой вершине Александров А. Д. [2], стр. 45). Общая кривизна вершин выпуклого многогранника (сумма кривизн всех вершин)

равна - ; она связана с последним членом формулы (2).

[4] По поводу аффинных преобразований см., например, Делоне Б. Н. и Райков Д. А. [1].

[5] См., например, Делоне Б. Н. и Райков Д. А. [1], Яглом И. М. [1].

[6] См., например, Яглом И. М. и Болтянский В. Г. [1], дополнение 1.

[7] Пусть А, В, С — три соседние вершины содержащегося внутри G многоугольника наибольшего периметра, Г — эллипс с фокусами Л и С, проходящий через касательная к Г в точке В является биссектрисой внешнего угла ABC при вершине В. Если эта касательная не является опорной прямой О, то эллипс Г пересекает границу G и, следовательно, мы можем сдвинуть вершину В в новое положение В так, что , и точка В лежит внутри G; но это противоречит тому, что каждый содержащийся внутри О многоугольник наибольшего периметра должен быть вписан в О.

Далее, пусть а, b, с — три соседние стороны многоугольника наименьшего периметра, заключающего G внутри себя, -окружность, вписанная в треугольник ABC, образованный прямыми а, b и с, и касающаяся а, b и с соответственно в точках Р, Q и R. Если Q — не опорная точка, то можно заменить прямую b другой прямой b, тоже касающейся так что G будет заключаться внутри нового многоугольника (имеющего тот же периметр, что и первоначальный, ибо если P и R — опорные точки прямых а и с, то ; но это противоречит тому, что многоугольник наименьшего периметра, содержащий внутри себя G, должен быть описанным.

[8] См. также Яглом И. М. и Болтянский В. Г. [1], § 5, Крыжановский Д. А. [1].

[9] Легко подсчитать, что площадь части ограниченно» двумя радиусами вписанного (единичного) круга, проведенными к точкам касания с кругом соседних сторон и образующих между собой угол , равна .

[10] Многоугольник состоит из многоугольника F, прямоугольников высоты 6, построенных на сторонах и дополнительных частей, составляющих вместе многоугольник подобный однако описанный вокруг круга радиуса 6 (ср. с выводом формулы (1,1)); далее заметим, что периметр равен

[11] Если точка О находится вне ABC, то заведомо существует точка О границы этого многоугольника такая, что это есть точка пересечения одного из отрезков ОА, ОВ, ОС с границей ABC или, если такой точки нет, та из вершин ABC, которая является вершиной угла, вертикального с углом треугольника и содержащего точку О внутри себя.

[12] Среднее гармоническое чисел — число, обратное среднему арифметическому чисел, обратных заданным:

[13] Ибо

[14] См. также Перепелкин Д. И. [1], Адамар Ж. [1].

[15] См. также Перепелкин Д. И. [1], Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. [2].

[16] Вершинами многогранника мы называем точки, в которых сходятся три или больше различных граней. Очевидно, что вершина многоугольника может не являться вершиной многогранника Р лишь в том случае, если она совпадает с вершиной S и соответствующий угол равен углу S; вершина же Р, лежащая на стороне свободно может не совпадать с вершиной (вершинами Р являются все такие точки границы в которых сходятся два или больше других многоугольников того, что S имеет не больше шести вершин следует используемое ниже неравенство .

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)