§ 9. О кратчайшей сети, разбивающей сферу на равновеликие выпуклые части

Если L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на равновеликих выпуклых частей, то

(1)

Равенство здесь достигается только в том случае, если сеть образуется проектированием на поверхность сферы из ее центра ребер вписанного правильного многогранника с трехгранными углами.

Это предложение является следствием следующей более общей теоремы.

Если L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на равновеликие выпуклые части, то

где k есть число ребер сети, - среднее число сторон одной грани и q — среднее число ребер, выходящих из одной вершины. Равенство здесь достигается только для сети, получаемой проектированием ребер вписанного правильного многогранника из центра сферы на ее поверхность.

Первая теорема вытекает отсюда вследствие того, что сеть с данным числом граней всегда можно рассматривать как такую, в каждой вершине которой сходятся ровно три ребра. Поэтому можно считать

Заметим еще, что вторая теорема сохраняет силу также и для вырожденных правильных многогранников (2, q) и

Для доказательства воспользуемся изопериметрическим свойством правильного сферического многоугольника, согласно которому среди всех равновеликих сферических многоугольников с данным числом сторон правильный -угольник имеет наименьший периметр. Периметр правильного сферического -угольника площади t равен

Таким образом, имеем:

где означает число граней сети и число сторон отдельных граней. Можно показать, что при постоянном значении есть выпуклая функция .

Следовательно, имеем:

что эквивалентно неравенству (2). Анализ случая равенства не представляет здесь затруднений.

Интересен, по-видимому, тот случай, когда известно число вершин сети, так сказать, число кольев, на которые натянута сетка. В этом случае имеем:

и равенство достигается только для случая сети, полученной проектированием сети ребер вписанного правильного многогранника с треугольными гранями из центра сферы на ее поверхность.

Хотя в вышеупомянутом доказательстве была существенно использована выпуклость сферических областей, теорема, вероятно, сохраняет силу и при отказе от этого ограничения. Однако в этом более общем случае задача не решена уже для числа граней. Напротив, случай вполне ясен; решение здесь дается следующей совсем не тривиальной теоремой Ф. Бернштейна [1]: среди всех простых замкнутых кривых, делящих площадь сферы пополам, большая окружность имеет наименьшую длину.