§ 7. Оценки для случая неравных кругов

В дальнейшем мы не ограничимся лишь требованием выпуклости области, которая будет заполняться или покрываться кругами; мы будем считать, что эта область представляет собой выпуклый шестиугольник (который может быть также вырожденным, т. е. может иметь и меньше шести сторон). Это предположение допускает обобщения в нескольких направлениях; оно имеет то небольшое преимущество, что здесь не приходится исключать случай заполнения (или покрытия) рассматриваемой области одним единственным кругом.

Большинство рассуждений последующих параграфов может быть легко перенесено и на случай невыпуклого шестиугольника; однако в целях простоты и большего единства всего изложения мы ограничимся линь случаем выпуклого шестиугольника

Мы начнем с доказательства следующих теорем:

Если выпуклый шестиугольник S заполнен кругами произвольных размеров, то плотность заполнения

(1)

Если выпуклый шестиугольник S покрыт кругами произвольных размеров, то плотность покрытия

Эти результаты можно еще несколько усилить, заменив в обоих неравенствах отношением где - средняя площадь круга. Для , т. е. для случая равных кругов, неравенства (1) и (2) дают точные оценки

Для доказательства разложим шестиугольник S в меньшие многоугольники , так, чтобы многоугольник содержал круг (соответственно круг содержал многоугольник Р. Если число вершин многоугольника обозначить через ? то в задаче о заполнении S кругами мы будем иметь:

соответственно в задаче о покрытии кругами

Но в § 3 мы видели, что есть выпуклая функция , — вогнутая функция . Отсюда получаем следующие оценки для интересующих нас плотности заполнения и плотности покрытия

соответственно

Учитывая (1,6,9), имеем:

и, следовательно, в силу монотонности функций соответственноф (69). Но это как раз и есть наши неравенства (1) и (2).

Докажем теперь следующие несколько более глубокие теоремы:

Если выпуклый шестиугольник S заполнен кругами , то для любого

Если выпуклый шестиугольник S покрыт кругами

Здесь (как и раньше)

— так называемое степенное среднее порядка а величин

Для равных кругов неравенства и (4) эквивалентны неравенствам (1) и (2). Заметим еще, что для величин, стоящих слева, в общем случае имеют место лишь тривиальные неравенства соответственно С другой стороны, в предельных случаях соответственно имеют место (точные) неравенства

соответственно

Естественно ожидать, что границы, которых может достигнуть величина при изменении а от 1 до , соответственно от 1 до монотонно изменяются от до с соответственно от до Однако оказывается, что границы, достигающиеся в неравенствах (3) и (4) в предельных случаях а справедливы и для некоторых других значений , относительно близких к 1.

Постоянные в этих неравенствах не являются наилучшими. Однако, если рассмотреть заполнение плоскости кругами двух размеров, которое получается, если заполнить пробелы, образующиеся при плотнейшем заполнении плоскости «двойным» числом меньших кругов, т. е. систему вписанных кругов вырожденного полуправильного многогранника (3, 12, 12), то нетрудно убедиться, что для таких значений а, для которых

Аналогично этому система описанных кругов многогранника (4, 8, 8) показывает, что для таких а, для которых

т. е. для не сохраняет силу неравенство Отметим еще случай, когда в неравенстве (3)

Если в выпуклом шестиугольнике S расположено непересекающихся кругов радиусов , то

Отсюда вытекает следующий результат. Пусть нам требуется заполнить заданную область большим (но фиксированным!) числом произвольных кругов так, чтобы общий периметр кругов был возможно большим. В таком случае надо взять равные круги подходящей величины и расположить их в плотнейшую упаковку . В случае задачи о наибольшей общей площади кругов аналогичное решение, разумеется, уже не будет верным [71].

Доказательства неравенств (3) и (4) основываются на выпуклости определенных функций двух переменных. А именно рассмотрим функции 1

Покажем, что функция для любого выпуклая; напротив, функция для вогнутая.

Условие выпуклости имеет вид

т. е.

или

Так как, однако, в силу неравенства

при есть монотонно убывающая функция , то при условие выпуклости выполняется. Сходным является условие вогнутости функции :

т. е.

или

Так как, однако, в силу неравенства

функция при 3 монотонно убывает, то вышеупомянутое условие выполнено, если только . Теперь имеем в уже привычных обозначениях

и соответственно

что нам и требовалось доказать.

Неравенства (3) и (4) можно также записать в виде оценок плотности заполнения и покрытия D выпуклого шестиугольника любой системой кругов:

соответственно

Обратимся теперь к одной более специальной задаче, относящейся к случаю, когда шестиугольник S заполняется равным числом кругов k и К двух различных радиусов. Рассуждения, сходные с доказательством неравенства (1), приводят к следующему неравенству для плотности D заполнения кругами:

где — среднее число вершин многоугольников, отвечающих малым и большим кругам. Так как и, кроме того, то . При этих условиях сумма очевидно, достигает мин шума, когда поэтому мы приходим к неравенству

Совсем аналогично для плотности покрытия получаем:

Рассмотрим случай отвечающий системе вписанных кругов полуправильного замещения плотности (4, 8, 8), содержащей «столько же» малых кругов, как и больших (рис. 72).

Плотность этой системы равна

Но , а для какого-то значения х, заключающегося в пределах Численная величина этого минимума меньше, чем она приблизительно равна 3,9869.

Рис. 72.

Поэтому наш метод дает оценку , т. е. приводит к величине, которая примерно на больше, чем

Напрашивающееся предположение, что изображенное на рис. 72 заполнение плоскости равным числом кругов радиусов и 1 является наиболее выгодным, не доказано еще строго.

Напротив, вписанные круги вырожденного «многогранника» (3, 12, 12) (рис. 73), как нетрудно видеть, действительно образуют плотнейшее заполнение. Большие круги этой системы образуют плотнейшее заполнение плоскости.

Если бы имелось более выгодное расположение фигурирующих здесь кругов двух различных радиусов (с «удвоенным» по сравнению с большими кругами числом малых кругов), то, удалив из него малые круги, можно было бы получить заполнение плоскости равными кругами с плотностью, большей чем , что невозможно.

Рис. 73.

В заключение мы хотим еще обратить внимание на несколько других нерешенных задач, исходным пунктом для которых является следующая теорема:

Существует такое , что плотность D каждой бесконечной системы не перекрывающихся кругов, для которых

не превосходит

Таким образом, если круги не очень сильно различаются, то их плотность расположения не может превосходить плотности плотнейшего расположения равных кругов.

Эта теорема вытекает из того, что при достаточно малых значениях для всех кругов — где — ячейка, отвечающая кругу . Если число вершин ячейки меньше 6, то это утверждение тривиально; если же оно может быть выведено так же, как и для случая равных кругов.

Обозначим верхнюю границу плотности заполнения для системы кругов для которой через . На рис. 74 мы изобразили нижнюю грань функции . Эта граница, вероятно, является точной из чего, например, следовало бы, что сформулированная выше теорема сохраняет силу еще при

Рис. 74.

Заметим, однако, что плотность заполнения К одной ячейки уже для сравнительно небольших значений q может превосходить / Так, например, для случая ячейка может быть описанным около круга правильным семиугольником Однако в этом случае соседние ячейки будут иметь довольно неправильную форму, например будут являться сравнительно большими пятиугольниками, которые полностью компенсируют малое значение площади правильного семиугольника.

Для задачи о редчайшем покрытии существование соответствующей величины не установлено.

Верхняя граница для получается из неравенства (1). Легко доказать также справедливость следующей более сильной оценки:

которая достигается при тех же самых условиях, что и (1). Если эту оценку сверху комбинировать с оценкой для снизу, следующей из рис. 74, то, например, для мы получаем: