§ 5. Исторические замечания

Задача определения нижней границы относящаяся к некоторому определенному классу центрально-симметричных выпуклых фигур М, встречается уже у Минковского.

Позднее эта же задача при более общих условиях была вновь поставлена Р. Курантом (см. Бляшке (3], стр. 65). Тот замечательный факт, что в классе всех центрально-симметричных выпуклых фигур минимум постигается не для эллипса, впервые отметил Рейнгар От него исходит также предположениe, что экстремальной фигурой является сглаженный восьмиугольник. Совершенно другим путем пришел позднее к тому же результату Малер [1], которому работа Рейнгардта осталась неизвестной. Малер поставил также задачу определения тех центрально-симметричных -угольников для которых достигает наименьшей возможной величины, и показа 1, что экстремальный восьмиугольник аффинно правильный. Экстремальный -угольник определили Ледерман и Малер [1], которые нашли, что уже не может являться правичьным. Далее они определили величины где есть сглаженный —угольник, полученный из Оказалось, что хотя , но что может с тужить подтверждением предположения Рейн ардта. Название «сглаженный восьмиугольник» (smoothed octagon) мы также заимствовали из последней из цитированных работ.

Задача определения центрально-слмметричной выпуклой фигуры М, которой отвечает наибольшее возможное значение величины а также простое замечание о том, что решение этого вопроса непосредственно вытекает из теоремы (II, 4,1) Саса, и тут от автора [16]. Теоремы Фари были раньше высказаны автором в качестве гипотез. Из доказательства (1,2) следует, что каждая выпуклая фигура Е содержит центрально-симметричную выпуклую фигуру площади это обстоятельство почти одновременно с Фари было отмечено также Ьезиковичем Неравенство (1,2) представляет собой непосредственное следствие того факта, что в Е можно поместить уже аффинно правильный шестиугольник площади большей или равной - Е, что также следует из доказательства Безиковича [109]. То обстоятельство, что неравенство (1,2) впервые было обнаружено Фари, обязывает нас приписывать соответствующую теорему ему.

Неравенство (2,2) впервые доказат Малер . Приведенное в книге доказательство его заимствовано из заметки [24] автора, написанной независимо от работы Малера.

Результаты § 3 и 4 содержатся в работе [33] автора. Вместо (4,3) в этой работе указана оценка которую, однако, в силу ошибочности вывода неравенства нельзя считать доказанной. Однако можно к с уверенностью утверждать, что сама эта оценка является справедливой.

По поводу обеих основных задач, упомянутых во введении к этой главе, мы не можем высказать никаких основательных гипотез. Было бы поэтому весьма желательно, по крайней мере, указать оценку, соответствующую неравенству (3,5), также и для не центрально-симметричных выпуклых фигур.