ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Дискретная система точек называется правильной, если каждые две точки системы можно перевести движением одну в другую так, что это движение переводит всю систему точек саму в себя, или, короче говоря, если ни одна точка не отличается от другой своим положением в системе. Подобная система точек связана с другими правильными фигурами, например с многоугольниками, многогранниками, разбиениями пространства. Правильное расположение точек или фигур постоянно занимало фантазию человека и вызывало особенный интерес математиков. Из многочисленных имен, которые здесь могут быть названы, мы упомянем только Платона, Архимеда, Кеплера, Браве и Шлефли.

В трехмерном пространстве удалось с помощью теоретико-групповых рассуждений дать полное обозрение возможных правильных систем точек и тем самым получить естественное объяснение встречающихся в природе форм кристаллов. Это было сделано в знаменитых исследованиях Федорова (1885), Шёнфлиса (1891) и Барлоу (1894), перечисливших 230 классов кристаллов.

Позднее внимание приковали определенные экстремальные задачи, связанные с правильными системами точек, которые могли помочь объяснить различные физические и химические свойства кристаллов. Одна из подобных задач состоит в определении плотнейшей правильной упаковки шаров. Представим себе молекулы некоторого вещества как равные шары, которые могут касаться друг друга, но не пересекаться. Ищется то правильное расположение молекул, при котором в определенном объеме содержится наибольшее возможное число молекул.

Могучий толчок для исследования подобных экстремальных задач дал Минковский.

Он указал связь определенных теоретико-числовых вопросов с задачами расположения, относящимися крешеткам фигур, и этим самым положил начало новой области математики, интенсивно развивающейся по сегодняшний день — геометрической теории чисел.

В физической химии и в геометрической теории чисел встречаются главным образом экстремальные задачи, в которых допустимые расположения с самого начала подчинены определенным условиям регулярности. Напротив того, настоящая книга посвящена задачам, в которых рассматриваются также и произвольные неправильные расположения. Правильность экстремальной фигуры здесь часто является следствием наложенных экстремальных условий.

Для примера упомянем здесь о двух типичных задачах.

1. Как попожить на «большой» стол больше всего монет? Ответ здесь заключается в том, что каждая монета должна касаться шести других монет Таким образом, самое выгодное расположение является решетчатым.

2. Как надо расположить на сфере двенадцать точек для того, чтобы объем выпуклой оболочки этих точек был бы наибольшим? Эта задача приводит к правичыюму икосаэдру.

Первая задача, т. е. задача о плотнейшем заполнении плоскости кругами, была решена крупным норвежским математиком, специалистом по теории чисел А. Туе в одной его юношессой работе (1892). Затем наступил большой перерыв в работах этого направления, так что большинство результатов, которые здесь имеются, представляют собой плоды последних 10—12 лет. Учебного пособия по этому кругу вопросов до сих пор не существова о.

Для понимания поднятых здесь задач не нужны никакие предварительные знания. Исходными пунктами являются несколько весьма естественных и наглядных вопросов, которые, однако, в силу связанных с ними типичных трудностей часто сами являются серьезными проблемами. В большинстве случаев также и решения этих задач не требуют «повышенных» знаний, так что почти вся книга может считаться общедоступной. Однако этот сравнительно элементарный круг вопросов в изобилии содержит нерешенные задачи.

Одна из главных целей нашей книги состоит в том, чтобы направить внимание на эти вещи и тем самым склонить других к работе в этой привлекательной области геометрии.

Особенной благодарностью я обязан профессорам Г. Хадвигеру, Г. Хайошу и Б. Л. ван дер Вардену, которые прочитали рукопись и сделали ряд ценных замечаний. Большинством расчетов и другими замечаниями я обязан моему сотруднику И. Молнару. За помощь при чтении корректур я благодарен М. Кнезеру.

Весцпрем, март 1953

Л. Фейеш Тот