ПРИЛОЖЕНИЕ I. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ РАСПОЛОЖЕНИЙ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В гл. VII настоящей книги указано, что задача о нахождении плотнейшего заполнения трехмерного пространства равными шарами и о вычислении плотности этого заполнения не решена еще и до сегодняшнего дня; не решена также и задача об определении редчайшего покрытия пространства равными шарами. Естественно, что и более общие -мерные аналогии этих задач (где произвольно) тоже не имеют еще решений; таким образом, в теории расположений в -мерном евклидовом пространстве мы не имеем пока никаких окончательных результатов (ибо задачи о заполнении и о покрытии равными шарами — это первые, самые простые задачи теории расположений). При этом, если в случае можно, по крайней мере, высказать правдоподобные предположения о величинах соответствующих плотностей для плотности плотнейшего заполнения и для плотности редчайшего покпытия). то в случае произвольного пока имеются лишь некоторые, по-видимому, довольно грубые оценки этих плотностей, которые и будут указаны ниже в большинстве случаев без полных доказательств, но со ссылками на литературу.

Заметим еще, что задачи о плотнейшем заполнении и о редчайшем покрытии -мерного евклидова пространства равными шарами можно понимать двояко. Запросы теории чисел делают весьма интересным вопрос о нахождении плотностей плотнейшего решетчатого заполнения и редчайшего решетчатого покрытия -мерного пространства равными шарами; с другой стороны, естественны попытки отыскать плотности самого плотного (не обязательно решетчатого!) заполнения и самого редкого (не обязательно решетчатого!) покрытия. Очевидно, что

Мы знаем (см. гл. III книги), что

далее, по-видимому,

Однако у нас нет никаких оснований предполагать, что и в общем случае и напротив, большинство исследователей, занимавшихся этими вопросами, полагает, что это последнее обстоятельство не имеет места

Первую оценку плотности заполнения -мерного евклидова пространства разными шарами дал в 1929 Г. Г. Б. Блихфельдт [2]. Он воспользовался тем. что если мы имеем заполнение пространства единичными шарами и — центры каких угодно из этих шаров, то сумма квадратов расстояний от точек до любой точки М пространства будет не меньше (здесь — какое угодно; от числа измерений пространства последняя оценка не зависит). Для доказательства этого соотношения достаточно принять точку М за начало прямоугольной системы координат. Обозначая координаты центра О; через мы будем иметь:

(ибо расстояние между центрами двух непересекающихся единичных шаров не меньше 2). Складывая различных таких неравенств, получим: к

откуда, так как

что и требовалось доказать.

Заменим теперь вместе с Блихфельдтом наши шары радиуса 1 неоднородными материальными шарами радиуса плотность которых в точке, удаленной от центра на расстояние , будет равна (плотность убывает от центра шара к его периферии; в центре она равна 2, а на ограничивающей шар сфере — нулю). Увеличенные шары могут перекрываться; однако ни в одной точке пространства плотность вещества не будет превосходить 2; действительно, если точка М принадлежит шарам с центрами то сумма плотностей шаров в этой точке

Поэтому количество материи в большой области В -мерного пространства не превосходит удвоенного объема v этой области; с другой стороны, так как масса одной сферы равна

где — поверхность единичной сферы -мерного евклидова пространства, объем единичного шара, то число М(В) заключающихся в В единичных шаров не превосходит

и плотность заполнения - (обозначение подразумевает, что рассматриваемое заполнение — плотнейшее) удовлетворяет неравенству

Несколько усовершенствовав этот метод, Блихфельдт сумел в той же работе [2] получить даже более точную оценку:

поправка

фигурирующая в формуле (3), с ростом быстро стремится к нулю. При неравенство (3) принимает вид

впрочем, уточнив несколько свои рассуждения, Блихфельдт сумел получить и лучшую оценку выше, стр. 271).

Исследования Блихфельдта были продолжены в 1947 г. Р. А. Ранкиным.

В работе [1] он получил следующую более точную оценку:

где величина с ростом убывает как (точнее, Ранкин доказал, что

где есть некоторая постоянная, способ вычисления которой указывается, a при большом имеет уже порядок другими словами, произведение при всех остается ограниченным). При метод Ранкина дает

это наилучший результат в этом направлении, строго доказанный до настоящего времени (ср. стр 271).

Все эти результаты оценивают плотность сверху. С другой стороны, почти очевидно, что плотность каждого заполнения -мерного евклидова пространства единичными шарами, которое нельзя уплотнить просто дополнением новых шаров, не меньше Действительно, условие о неуплотняемости заполнения означает, что шары с теми же центрами и радиусами 2 образуют уже покрытие пространства (ибо если точка М пространства не принадлежит ни одному из увеличенных шаров, то шар с центром М и радиусом 1 не пересекается ни с одним из первоначальних шаров);

по этому если заполнение области В содержит единичных шаров, то шаров радиуса 2 образуют покрытие В и их общий объем больше объема v области В; следовательно, плотность заполнения

Однако сам этот вывод доказывает, что оценка

является весьма грубой.

Задачей о редчайшем покрытии -мерного евклидова пространства равными шарами занимались Р. П. Бамбах и Г. Давенпорт. В 1952 г. в работе [1] они получили следующую оценку плотности решетчатого покрытия:

где стремится к нулю при . В этом же году Г. Давенпорт сумел оценить величину D и с другой стороны: он показал, что

Впрочем, последний результат Давенпорта не является окончательным: совсем недавно Г. Л. Ватсон [1], используя те же методы, что и Давенпорт, показал, что

Все перечисленные выше результаты, относящиеся к заполнению пространства равными шарами, относятся к произвольным (не обязательно решетчатым!) заполнениям; напротив, относящиеся к покрытиям результаты ограничиваются решетчатыми покрытиями. Впрочем, в силу (1) в каждом из неравенств (2), (3), (4) и можно справа заменить на (основная задача Блихфельдта как раз и состояла в оценке плотностей решетчатых заполнений); также и в неравенствах (7) и (8) можно заменить на Из вывода грубого неравенства (5) тоже следует, что в нем можно заменить на . Что же касается неравенства (6), то оно существенным образом относится к решетчатым покрытиям; для произвольных покрытий его можно заменить оценкой

полученной недавно П. Эрдешем и К. А. Роджерсом стремится к нулю при

Ряд работ посвящен задаче о плотнейшем заполнении единичной -мерной сферы (поверхности шара радиуса -мерного евклидова пространства) равными (сферическими) шарами.

Под шаром на -мерной сфере здесь понимается, как обычно, совокупность точек этой сферы, расстояние которых от фиксированной точки Р сферы (центра шара) не превосходит Заданной величины а (радиуса шара); при этом расстоянием между двумя точками Р и Q сферы можно измерять как длину отрезка -мерного евклидова пространства (и в этом случае а есть евклидов радиус шара), или как длину (кратчайшей) дуги PQ большой окружности сферы (в этом случае а есть сферический радиус), или как угол POQ, где О - центр сферы (в этом случае а есть угловой радиус). Плотность плотнейшего заполнения единичной мерной сферы равными шарами мы будем обозначать через , где есть евклидов радиус шаров, или через , где — сферический радиус, или через о , где — угловой радиус. При этом очевидно, что , если (это позволяет не различать функции ) и обозначать их одной буквой), и если . Так как есть также плотность заполнения -мерной сферы радиуса шарами радиуса 1, то, очевидно,

где есть плотность заполнения рапными шарами -мерного евклидова пространства; поэтому если доопределить по непрерывности заданные при и при функции , то будем иметь:

Первые оценки функции получил в 1953 г. К. Шаботи [1]. Он воспользовался тем, что попарные расстояния между центрами входящих в заполнение шаров не меньше отсюда в силу результата Г. Хайоша и Г. Давенпорта (см. выше, стр. 289) вытекает, что радиус наименьшей -мерной сферы, внутри которой заключаются какие-либо центра шаров, не меньше Таким образом, любые шара, концентрические с шарами нашего заполнения и имеющие радиус не пересекаются между собой; отсюда вытекает, что не пересекаются не только высекаемых ими сферических шара (евклидова) радиуса но также и больших шара, высекаемых из сферы (-мерными) конусами касательных, проведенных из центра сферы к нашим -мерным шарам; эти (сферические) шары также концентричны шарам заполнения, а их угловой радиус определяется из соотношения

(здесь мы считаем, что ).

Таким образом, (сферические) шары, концентрические с шарами заполнения и имеющие (угловой) радиус 0, покрывают сферу не более чем -кратно; поэтому общая площадь сферы не меньше чем

где есть число участвующих в заполнении шаров и — -мерный объем (сферического) шара углового радиуса 6:

— площадь поверхности единичного шара -мерного пространства: . А отсюда сразу вытекает следующая оценка для плотности

ее можно переписать также следующим образом:

где

С другой стороны, совершенно аналогично выводу неравенства (5), можно получить

или, что то же самое,

Обе оценки (12) и (14) являются довольно грубыми. При они дают

в то время как на самом деле (ср. выше, стр. 289); при них вытекает следующая оценка для числа одинаковых -мерных материальных шаров, которые можно приложить к такому же шару:

(в частности, или в то время как на самом деле стр. 273). При оценка (14), естественно, переходит в оценку (5), а оценка (12) дает

что ровно в два раза хуже оценки Блихфельдта (2).

Из (12) и (14) вытекают еще следующие оценки для числа (сферических) шаров углового радиуса В, которые можно расположить без перекрытия на -мерной сфере, где велико:

здесь — функции , убывающие как

Полагая здесь, в частности, имеем:

Оценка (12) Шаботи была уточнена в 1955 г. Р. А. Рянкиным [2].

Для — Ранкин указывает точное число (0) шаров которые можно расположить на -мерной сфере без перекрытия:

(отсюда, разумеется, сразу получаются и значения плотности ). Для в он дает лишь оценку сверху:

которая при переходит в оценку Блихфельдта (2).

Близкий характер имеет появившаяся в 1955 году работа Э. Л. Блоха [1], который приспособил для рассматриваемой задачи рассуждения Блихфельдта [2]; при этом Э. Л. Блох также использовал то обстоятельство, что шары, концентрические с шарами заполнения, имеющие радиус , покрывают сферу не более чем -кратно. Полученная им оценка имеет такой вид:

здесь угол (фигурирующий также и в ) и функция по-прежнему определяются формулами (10) и (13). Эта оценка лучше (12) при в частности, при она также переходит в оценку Блихфельдта (2). Из (16) можно получить несколько более грубую, но более простую оценку:

Отметим еще примыкающую к [2] заметку Ранкина [3], в которой содержатся первые, и притом совсем не очевидные результаты, относящиеся к заполнению равными шарами гильбертова (бесконечномерного) пространства. Именно, отзывается, что при внутри единичной сферы гильбертова пространства можно поместить бесконечно много непересекающихся шаров радиуса ; если же то максимальное число непересекающихся шаров, вмещающихся в единичную сферу будет конечно: оно равно

(квадратные скобки означают взятие целой части от числа).