§ 7. Основные факты интегральной геометрии

Пусть М — некоторое множество геометрических образов, которыми могут быть, например, точки области; прямые, пересекающие определенную область; плоскости, пересекающие какую-то кривую пространства; те из равных данной фигур, которые пересекаются с другой фиксированной фигурой, и т. д. Мы хотим приписать такому множеству определенную меру . Для этого отнесем элементы М к какой-нибудь системе независимых координат . Пусть — любая положительная функция от k переменных; затем рассмотрим интеграл, распространенный по множеству М

Если множество и функция таковы, что этот интеграл существует, то можно рассматривать как меру М.

Попытаемся теперь определить функцию так, чтобы m(М) был! инвариантна относительно движений. Другими словами, надо потребовать, чтобы дня любых двух множеств М и М, которые можно перевести движением одно в другое, имело место равенство . Этого всегда можно достигнуть, если элемен таковы (как то имело место во всех рассмотренных выше примерах), что любые два из них можно перевести один в другой движением. Можно показать, что в этом случае наше требование инвариантности однозначно определяет функцию (разумеется, с точностью до произвольного постоянного

В этом случае частное — выражает вероятность того, что элемент, взятый наудачу из М, будет пр (надлежать к его подмножеству Т. Определенную таким образом меру , ьнвариантную относительно движений, можно условно назвать (интегрально-геометрической) площадью множества М.

Площадь множества точек какой-либо фигуры (интегрально-геометрическая), естественно, совпадает с ее площадью в обычном смысле. Площадь множества прямых, пересекающих выпуклую область, была определена в 1868 г. Крофтоном, который пришел к весьма изящной теореме, в силу которой эта площадь множества прямых совпадает с периметром фигуры.

Позднее Пуанкаре ввел площадь какого-либо множества положений подвижной плоской фигуры G. Эту площадь можно определить с помощью тройного интеграла , где и — координаты связанного с фигурой линейно о элемента (точка и направление) по отношению к неподвижной системе координат, а именно, угол, образованный направлением линейного элемента с осью и декартовы координаты точки. Эта площадь не зависит ни от выбора системы координат в неподвижной плоскости, ни от выбора линейного элемента. Дифференциал называется кинематической плотностью подвижной фигуры

Пусть кривая К движется в плоскости, где фиксирована какая-то неподвижная кривая и s есть число точек перенесения обеих кривых. В таком случае интеграл распространенный по всем положениям движущейся кривой К, выражает площадь всех положений К, где кратность каждого положения определяется числом точек пересечений. Согласно Пуанкаре имеем:

где - длины дуг .

Упомянем еще формулу Сантало, которая определяет площадь тех положений движущейся выпуклой фигуры Т периметра L, в которых Т пересекает неподвижную выпуклую фигуру периметра

Здесь интеграл распространяется на те положения для которых . В противоположность этому интеграл (1) можно считать распространенным на все положения К, причем для случая естественно принять, что число точек пересечения

Форму ты Пуанкаре и Сантало можно объединить в одну общую теорему. Рассмотрим снова неподвижную и движущуюся фигуры и Г длин и L, не обязательно выпуклые. Предположим еще, что они ограничены простым i кривыми без кратных точек, для простоты — односвязными. Если обозначить через k число односвязных компонент, из которых состоит пересечение , то имеет место следующая общая формула:

где интеграл распространен по всем положениям Т. Это так называемая основная кинематическая формула Бляшке для одпосвязных областей.

Очевидно, что формула (2) представляет собой частный формулы (3) Формула (3) содержит также и формулу (1), так как кривую длины L можно принять за вырожденную фигуру нулевой площади и периметра

С помощью формул можно получить различные оценки для изопериметрического дефицита доказывающие его положительность. Эти результаты относятся к числу самых прекрасных плодов интегральной геометрии. Подобное изопериметрическое равенство мы выведем позднее.

Относительно дальнейшего развития интегральной геометр и, а также разнообразных ее применений см. книгу Бляшке .