§ 3. Теоремы Доукера

В следующей главе будут существенно использованы изящные теоремы Доукера

Обозначим вписанный в выпуклую фигуру -угольник максимальной площади через и описанный -угольник минимальной площади через Последовательность площадей вогнута:

а последовательность выпукла:

Для доказательства неравенства (1) [34] рассмотрим два вписанных многоугольника: с числом вершин при этом мы положим, что вершины А не лежат все на одной из двух дуг, определенных параллельными опорными прямыми фигуры. Покажем, что при любом выборе А и В (где А удовлетворяет указанному условию) всегда можно подобрать два таких вписанных -угольника С и D, что . Так как наше условие, относящееся к многоугольнику А, обязательно выполняется, если то мы можем положить при этом мы придем к требуемому неравенству

Рассмотрим отдельно два случая.

Случай 1.

где знак указывает порядок вершин на граничиой кривой рассматриваемой выпуклой фигуры (рис. 43). Пусть . Тогда

Если сдвинуть вершину в положение в положение то площадь треугольника только уменьшится (здесь преходится использовать сделанное предположение о многоугольнике А) [35]. Следовательно, .

Рис. 43.

Случай 2. Ни при какой нумерации вершин А и В не найдется последовательности вершин, удовлетворяющей первому условию. Тогда при подходящей нумерации вершин мы будем иметь:

(рис. 44). Пусть теперь

Обозначим точку пересечения через Р и точку пересечения через Q. В таком случае имеем:

Если , то треугольники равновелики; но так как в силу сделанного предположения о многоугольнике А лучи пересекаются, то во всех случаях и по аналогичной причине .

Следовательно, и в случае 2 также имеет место неравенство .

Рис. 44.

Для доказательства (2) рассмотрим два описанных многоугольника , где стороны соответствующих многоугольников.

Рис. 45.

Достаточно показать, что существуют два таких описанных -угольника что

Аналогично предыдущему доказательству мы и здесь рассмотрим отдельно два случая; при этом знак теперь у нас будет указывать последовательность сторон описанных многоугольников.

Случай 1. Имеется последовательность сторон (рис. 45). Пусть . тогда

Случай имеется никакой последовательности сторон такого рода. Тогда имеем последовательность (рис. 46).

Рис. 46.

Пусть . В этом случае имеем