§ 3. Экстремальные свойства правильных многоугольников

Рассмотрим тот из выпуклых -угольников, содержащихся в выпуклой фигуре G, который имеет наибольшую площадь; обозначим его через Р. Существование такого -угольника вытекает из хорошо известной теоремы Вейерштрасса [6]. Ясно, что Р должен быть вписан в область G. Кроме того, легко понять, что Р обладает тем свойством, что через каждую вершину Р можно провести опорную прямую G, параллельную диагонали Р, соединяющей две его вершины, соседние с рассматриваемой.

Действительно, если параллель к этой диагонали, проведенная через вершину Р, не является опорной прямой, то можно так сдвинуть вдоль проведенной прямой вершину Р внутрь G, чтобы деформированный -угольник, заключающийся внутри G, но не вписанный в G, имел ту же самую площадь. Это, однако, находится в противоречии с тем, что каждый -угольник наибольшей площади должен быть вписанным.

Так же просто показывается, что содержащий G выпуклый -угольник наименьшей площади должен быть описан вокруг G и обладать следующим свойством: середина каждой стороны многоугольника должна являться опорной точкой. Также содержащийся в G -угольник наибольшего периметра является вписанным, а заключающий G внутри себя многоугольник наименьшего периметра — описанным. При этом выпуклый -угольник наибольшего периметра, содержащийся в G, обладает тем свойством, что биссектриса внешнего угла в каждой его вершине является опорной прямой G; аналогично -угольник наименьшего периметра, содержащий G внутри себя, обладает тем свойством, что круг, касающийся какой-либо стороны -угольника и продолжения двух смежных его сторон, касается стороны -угольника в опорной точке (рис.

Рис. 1.

Если G — окружность, то каждое из перечисленных выше свойств -угольника определяет его однозначно. В этих случаях экстремальный -угольник оказывается правильным. Следовательно, вписанный правильный -угольник выделяется среди всех заключающихся в круге К -угольников тем, что он имеет наибольшую площадь и наибольший периметр; аналогично этому описанный вокруг круга К правильный -угольник имеет наименьшую площадь и наименьший периметр по сравнению со всеми другими выпуклыми -угольниками, содержащими К внутри себя.

Эти утверждения о площади и о периметре эквивалентны между собой, поскольку площадь и периметр многоугольника, описанного около круга, пропорциональны друг другу.

Сформулированные выше экстремальные свойства правильного многоугольника можно сформулировать еще так: площадь F, периметр L, радиус вписанного круга и радиус описанного круга R выпуклого -угольника удовлетворяют следующим неравенствам:

причем равенство во всех четырех неравенствах достигается только в случае правильного -угольника.

Намеченные выше доказательства этих предложений являются косвенными. Мы приведем здесь еще прямое доказательство экстремальных свойств описанного правильного -угольника.

Рис. 2.

Мы сделаем это для того, чтобы сопоставить друг с другом основные моменты прямого и косвенного доказательства, а также чтобы обратить внимание на одно усиление доказанного предложения, которое нам будет полезно впоследствии.

Очевидно, мы можем с самого начала ограничиться -угольником Р, описанным вокруг круга пусть Р есть правильный -угольник, описанный вокруг k (рис. 2).

Мы покажем одновременно, что РР и что равенство достигается только тогда, когда Р тоже есть правильный -угольник.

Рассмотрим круг К. описанный около многоугольника Р, и обозначим (равные) сегменты, отсекаемые от К сторонами Р, взятые в циклическом порядке, через Площадь части Р, лежащей внутри круга К, можно выразить следующим образом:

для этого достаточно заметить, что выражает общую площадь всех частей К, лежащих вне Р. Итак, мы имеем:

и равенство достигается только в том случае, если ни одна из вершин Р не лежит внутри К? Так как последнее обстоятельство имеет место только в том случае, когда то этим доказательство полностью завершается. Обещанное усиление заключается в том, что в неравенстве РР площадь Р можно заменить площадью пересечения РК.

Сравним теперь это прямое доказательство с приведенным выше косвенным доказательством. Вообще доказательство какого-либо экстремального свойства можно назвать прямым, если в нем прямо показывается (без привлечения какого-либо бесконечного процесса!), что соответствующая конфигурация лучше, чем все другие, с которыми она сравнивается. В этом смысле первое доказательство мы должны считать косвенным, так как там сперва утверждается существование экстремального (самого выгодного) многоугольника и затем показывается, что если только многоугольник не является правильным, то его можно заменить более выгодным.

Если оставить в стороне соображения эстетического и дидактического порядка, то косвенный метод представляется Солее естественным и, вообще говоря, вероятно, также и более целесообразным. Если иметь в виду лишь определение пока еще неизвестной экстремальной фигуры, то естественно отложить на дальнейшее вопрос о ее существовании; прежде всего следует задаться вопросом о том, в каких случаях (и каким образом) заданная фигура может быть улучшена.

При этом набросанный здесь косвенный метод доказательства не является вполне элементарным и чисто геометрическим, поскольку он опирается на теорему Вейерштрасса, относящуюся к элементам анализа.

Обратимся теперь к прямому методу доказательства, который уже в силу того, что он является прямым, представляется более убедительным. Здесь вопросы существования не приходится ставить отдельно, поскольку они автоматически решаются в процессе доказательства Кроме того, прямое доказательство часто удается свести к самым простым предложениям элементарной геометрии, в то время как в косвенном доказательстве это принципиально невозможно. Но зато прямое доказательство часто требует большего искусства, поэтому исторически такие доказательства находились, как правило, позднее, когда уже были известны менее изящные косвенные решения соответствующих задач.

Наконец, отметим еще неравенство

связывающее радиусы и R, вписанного и описанного кругов произвольного выпуклого -угольника: оно непосредственно вытекает из неравенств (1). Кроме того, из свойств аффинных преобразований следует, что в неравенствах можно заменить на — и , где и Е суть эллипс, содержащийся в -угольнике, и эллипс, содержащий -угольник внутри себя, откуда следует, что имеет место также и более общее неравенство