ГЛАВА IV. ЭКОНОМИЧНОСТЬ ЗАПОЛНЕНИЯ и ПОКРЫТИЯ ФИГУРАМИ ДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Основной задачей этой главы служит отыскание тех выпуклых фигур, с помощью которых плоскость 1) хуже всего заполняется, 2) наиболее выгодно покрывается. Другими словами, ищутся выпуклые фигуры, которые в некотором смысле противоположны замощающим фигурам (выпуклым). Эта задача представляется довольно трудной и до сих пор еще не решена. В настоящей главе мы попытаемся наметить первые шаги в направлении ее решения. В § 1 решаются подобные задачи для случая решетчатого расположения фигур. В § 2 мы обратимся к соответствующим задачам для центрально-симметричных фигур. Затем мы введем понятия, фигурирующие в названии этой главы, которые в случае неравных фигур играют ту же роль, что и понятия плотности плотнейшего заполнения и плотности редчайшего покрытия в случае равных фигур. Наконец мы рассмотрим вопрос о том, какой эффект дает в задачах о заполнении или о покрытии плоскости разрешение разрезать каждую фигуру на заданное число подходящих кусков.

§ 1. Экстремальные свойства треугольника

Обозначим фигуру, которая получается из G параллельным переносом на вектор а, через G а Пусть а и b — два линейно независимых вектора, лежащие в плоскости G. Совокупность всех фигур

мы назовем решеткой фигур. Если фигуры решетки не пересекаются (не имеют общих внутренних точек), то решетку мы назовем разделенной.

С другой стороны, если фигуры решетки полностью покрывают плоскость, то мы будем говорить о покрывающей решетке.

Рассмотрим замощающую фигуру Р, характеризующуюся тем, что фигуры соответствующей решетки:

покрывают плоскость без пробелов и двойных покрытий (если отвлечься от границ фигур Такой областью замощения является, например, так называемый основной параллелограмм решетки, т. е. множество концов всех векторов вида выходящих из одной точки. При этом плотность фигур

решетки можно охарактеризовать частным Это определение естественным образом совпадает с нашим прежним определением плотности. Легко показать, что для каждой выпуклой фигуры можно найти плотнейшую разделенную решетку и редчайшую покрывающую решетку.

После этих предварительных замечаний докажем следующие замечательные теоремы Фари

Если есть плотность плотнейшей разделенной решетки выпуклой фигуры G, то

равенство здесь достигается только в том случае, когда G — треугольник.

Если есть плотность редчайшей покрывающей решетки выпуклой фигуры G, то

равенство здесь достигается только в том случае, когда G — треугольник.

На рис. 88 показано, какой вид имеет в случае треугольника плотнейшая разделенная решетка.

Редчайшую покрывающую решетку, образованную перекрывающимися треугольниками, дает аффинно правильное разбиение (3,6) плоскости (см. рис. 11 на стр. 41) .

Для доказательства неравенства (1) рассмотрим так называемую векторную область V выпуклой фигуры G, которая получается, если отложить из одной точки О все векторы, заключающиеся внутри G (рис. 89). V есть центрально-симметричная область с центром О. Ясно, что для каждой граничной точки Q, фигуры V можно найти вписанный в V афинно правильный шестиугольник с вершиной

Рис. 88.

Рис. 8°.

Этому шестиугольнику отвечает такой вписанный в G шестиугольник что

Рассмотрим решетку областей, образованную из с помощью векторов Мы утверждаем, что эта решетка разделенная. Чтобы это доказать, воспользуемся тем, что шестиугольник Q — аффинно правильный, т. е. и, следовательно, . С другой стороны, так как — граничные точки V, то векторы суть самые длинные векторы этих направлений, лежащие в G. Следовательно, G имеет с фигурами

общие граничные точки, но не общие внутренние точки (рис. 90), чем и доказывается наше утверждение.

Покажем теперь, что точку можно подобрать таким образом, что Для этого ограничимся фигурами, границы которых не содержат прямолинейных отрезков. В таком случае соответствие между шестиугольниками Р и Q является однозначным, и изменение положения точки пересечения S прямых при непрерывном движении точки Q, по границе V будет непрерывным, если только S не уходит в бесконечность.

Рис. 90.

Сдвинем в вершину первоначального шестиугольника Q; в таком случае шестиугольник Р и точка S совпадут с их первоначальными положениями; однако точки поменяются местами. Следовательно, в процессе изменения шестиугольника Р точка перейдет с одной стороны прямой на другую сторону (прямую мы здесь считаем направленной, скажем, от Р, к ). Так как точка S не может лежать на прямой то этот переход может происходить только за счет того, что точка S станет бесконечно удаленной, чем наше утверждение и доказано.

Обратимся теперь к доказательству того, что если то решетка, порожденная векторами а и b, имеет плотность

Обозначим и рассмотрим восьмиугольник Так как А есть область замощения, принадлежащая решетке то d — так как, далее, шестиугольник Р вписан в фигуру О, то достаточно показать, что

Если мы обозначим треугольники через , и то будем иметь и, следовательно, доказываемое неравенство сводится к следующему: . Разобьем шестиугольник Р диагональю на два четырехугольника нам достаточно показать, что . Последние неравенства аналогичны друг другу; поэтому достаточно доказать справедливость одного из них, например первого:

Рис. 91.

Так как отношение площадей при аффинном преобразовании сохраняется, то мы без ограничения общности можем считать, что отрезок перпендикулярен (рис. 91). Обозначим точки пересечения соответственно через S и Г и положим

Мы можем предположить, что . В таком случае

Равенство в первом неравенстве достигается только тогда, когда Р, лежит на отрезке во втором — только тогда, когда Р, совпадает с точкой S. Если те же самые условия выполняются и для четырехугольника , то шестиугольник Р вырождается в треугольник Этим доказательство полностью завершено.

Перейдем теперь к доказательству неравенства (2). Мы докажем сначала, что в выпуклую фигуру G всегда можно вписать аффинно правильный шестиугольник Для этого мы снова ограничимся фигурами, границы которых не содержат прямолинейных отрезков.

Рассмотрим наибольшую из хорд G, параллельных заданной прямой обозначим ее через АВ (рис. 92).

Рис. 92.

Очевидно, что по обе стороны от прямой АВ существуют параллельные АВ хорды произвольно фиксированной длины s, где Обозначим эти хорды через занумеровав их концы так, чтобы было и рассмотрим аффинно правильный шестиугольник Если то лежит внутри G; напротив, если s по величине близко к АВ, то точки лежат вне G. Если мы будем непрерывно менять s от 0 до АВ, то по непрерывности найдется такое первое значение что одна из точек будет лежать на границе G, а вторая — внутри или на границе G. Шестиугольник однозначно определяется заданием будем непрерывно изменять его, поворачивая направление g.

Пусть лежит на границе G и — внутри G; если повернуть теперь g на 180°, то перейдет в поэтому точка должна оторваться в какой-то момент от границы G. В этот момент обе точки будут лежать на границе G, чем и завершается наше доказательство.

Покажем теперь, что для аффинно правильного шестиугольника Р, вписанного в Обозначим сегменты О отрезаемые сторонами шестиугольника от фигуры G, через (рис. 93).

Рис. 93.

Рассмотрим далее треугольники сторонами которых являются прямые и соответственно (А лежит против стороны против стороны и т. д.). Если симметрично отразить s, от то получим фигуру которая лежит, с одной стороны, вне с другой стороны, внутри треугольника (это следует из выпуклости G и того факта, что треугольник зеркально симметричен треугольнику содержащему ). Следовательно, меньше или в крайнем случае равно площади треугольника

Повторив аналогичное рассуждение, заменяя точками мы увидим, что

При этом равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда фигура G совпадает с одним из треугольников А или В.

Замощение плоскости равными экземплярами Р образует покрывающую решетку фигур G, плотность которой не превосходит равенство здесь достигается только в случае треугольника.