ГЛАВА III. ЗАДАЧА ЗАПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧА ПОКРЫТИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЛОСКОСТИ

Пусть на плоскости задана какая-то система из конечного числа выпуклых фигур. Мы займемся рассмотрением следующих вопросов:

1. Насколько мала может быть площадь выпуклой области, внутри которой можно так распотожить наши фигуры, чтобы они не перекрывались между собой?

2. Насколько велика может быть площадь выпуклой области, которую можно полностью покрыть нашими фигурами?

Задачи настоящей главы или сами относятся к этому типу или группируются вокруг сформулированных центральных задач, в известном смысле двойственных одна другой. Главный интерес здесь представляет предельный случай, к которому мы приходим, предполагая, что число фигур бесконечно. Оказывается, что наиболее благоприятное расположение равных фигур во многих случаях будет образовывать решетку фигур, при этом исключительную роль будет играть так называемая решетка равносторонних треугольников. Поэтому можно сказать, что в этой главе главным образом мы будем заниматься экстремальными свойствами вырожденных правильных многогранников

§ 1. Плотность системы фигур

Рассмотрим систему содержащую счетное множество односвязных фигур, расположенных в плоскости произвольным способом, возможно частично прекрывающих друг друга. Пусть, далее, — некоторый функционал (например, площадь или длина граничной кривой), сопоставляющий каждой фигуре О неотрицательное число

Обозначим еще через круг радиуса R, с центром в начале координат О и пусть - знак суммирования, распространенного по тем фигурам системы которые полностью заключаются внутри круга Предположим, что число фигур, учитываемых в сумме для каждого фиксированного будет конечно; далее примем, что существует предел

В таком случае мы будем называть плотностью функционала у для нашей системы фигур можно представлять себе как ту часть общей суммы функционалов которая приходится на единицу площади.

Легко показать, что не зависит от выбора начала координат О. Действительно, пусть обозначает суммирование по всем фигурам системы, принадлежащим кругу с новым центром О. Так как , то

где — расстояние между обоими центрами . Поэтому

устремляя в этом равенстве R к , мы получаем требуемую инвариантность

Если мы предположим еще, как мы всегда будем делать в дальнейшем, что диаметр фигур равномерно ограничен, то можно заметить в определении плотности сумму суммой распространенной по тем фигурам системы, которые пересекаются с кругом

Это следует из неравенства

где — верхняя граница диаметра описанной окружности фигуры.

Заметим еще, что если рассматриваемый предел не существует, то вместо плотности D функционала у можно рассмотреть верхнюю плотность или нижнюю плотность

Важнейшим функцлоналом в подобных рассмотрениях является функционал Соответствующую этому функционалу плотность мы назовем средним числом фигур; она указывает среднюю величину числа фигур, приходящихся на единицу площади.

Рассмотрим теперь еще один предел

где — число фигур системы, заключенных в круге . Если этот предел существует, то его естественно назвать средним значением функционала.

Имеет место очевидное равенство

Поэтому если среднее значение функционала и среднее число фигур А существуют, то существует также и плотность функционала причем эти три величины связаны следующим соотношением (которое получается, если устремить в последнем равенстве R к ):

Наиболее часто встречающаяся плотность функционала есть плотность площади областей, отвечающая функционалу ее можно истолковать как отношение суммы площадей фигур к площади всей плоскости. Мы будем называть эту плотность просто плотностью системы фигур. Плотность системы не перекрывающих друг друга фигур, очевидно, не превышает 1; напротив, плотность системы фигур, полностью покрывающих плоскость, не меньше чем 1.