§ 10. Заполнение и покрытие выпуклого шестиугольника равными выпуклыми фигурами

Исследования предыдущих параграфов вытекают из двойного источника, а именно из задач о плотнейшем заполнении и о редчайшем покрытии кругами. Все теоремы § 4—9 представляют собой обобщения неравенств (2,1) и (2,2) или несколько более общих неравенств (8,1) и (8,2). Другие широкие обобщения этих неравенств представляют собой следующие теоремы:

Если выпуклый шестиугольник S заполнен равными выпуклыми фигурами, то

где - описанный около фигуры шестиугольник наименьшей площади.

Если выпуклый шестиугольник S покрыт равными выпуклыми фигурами, причем граничные кривые каждых двух из этих фигур пересекаются не более чем в двух точках, то

где s — вписанный в фигуру шестиугольник наибольшей площади.

Следовательно, плотность заполнения шестиугольника рассматриваемыми выпуклыми фигурами не может превзойти частного от деления площади фигуры на площадь описанного шестиугольника минимальной площади. Точно так же плотность покрытия S рассматриваемыми во второй теореме фигурами не может быть меньше частного от деления площади фигуры на площадь вписанного шестиугольника максимальной площади.

Так как в случае центрально-симметричной фигуры В частное есть не что иное, как плотность плотнейшего решетчатого заполнения, соответственно редчайшего решетчатого покрытия плоскости , то из (1) вытекает тот замечательный факт, что плотность произвольного заполнения плоскости равными центрально-симметричными выпуклыми фигурами не может превосходить плотности плотнейшего решетчатого заполнения. При этом пример паркетообразного заполнения плоскости прямоугольниками показывает, что максимальная плотность заполнения (в данном случае равная единице) может достигаться также и для не решетчатого заполнения.

Упомянем здесь еще об одном следствии неравенства (1). Определим прежде всего наименьшее расстояние системы фигур как нижнюю границу длин тех отрезков, которые соединяют точки двух различных фигур системы. Среди всех бесконечных систем центрально-симметричных выпуклых фигур с заданным наименьшим расстоянием среднее число фигур будет достигать максимума для решетчатой системы фигур. А именно, если есть заданное наименьшее расстояние, то искомая система фигур будет отвечать плотнейшему заполнению плоскости параллельными оболочками ширины а первоначальных фигур, а эти параллельные оболочки, разумеется, сами также будут центрально-симметричными.

Чтобы пояснить значение этого последнего предложения, обратимся к одному довольно специальному, однако весьма интересному частному случаю. Рассмотрим большое чисто равных между собой малых брусков (отрезков), расположенных в плоской области; предположим еще, что между брусками действуют отталкивающие силы, под действием которых наименьшее расстояние стремится достигнуть своего максимума. Если теперь с помощью шнура, проходящего по границе области, стянуть бруски так, чтобы они расположились возможно теснее, то мы увидим, что бруски лягут параллельно друг другу.

Вернемся теперь к доказательству наших теорем.

Обозначим фигуры, расположенные в S, через и сопоставим каждой фигуре О, однопараметрическое множество вложенных друг в друга выпуклых фигур , которое непрерывно изменяется от до .

Так, напрлмер, в качестве множества фигур можно выбрать пересечение и внешней оболочки ширины DX, где D — диаметр S, или так называемую линейную систему фигур, порожденную фигурами и S [83]. Будем непрерывно увеличивать , начиная от Очевидно, найдется такое наименьшее значение параметра , что при две фигуры будут пересекаться. Рассмотрим общую опорную прямую G фигур и определенную этой прямой полуплоскость Н, содержащую и заменим все фигуры , начиная со значения параметра , пересечением

Рис. 81.

Если мы продолжим и далее этот процесс, то окончательно мы преобразуем все области в не пересекающие друг друга многоугольники

Пусть есть число вершин многоугольника — среднее число вершин . Тогда

Для того чтобы доказать это, достаточно заметить, что хотя многоугольники в общем случае не будут полностью заполнять шестиугольник (рис. 81), но все же эти многоугольники можно принять за грани вырожденного многогранника с гранями, удовлетворяющего теореме Эйлера; для этого надо только считать все части многоугольника , не покрытые «гранями» , «вершинами» многогранника.

Мы еще пока нигде не воспользовались равенством фигур Пусть — -угольник наименьшей площади, описанный вокруг . Так как в силу теоремы Доукера последовательность выпукла, то мы можем определить функцию и для нецелочисленных значений аргумента , так, чтобы функция осталась убывающей и выпуклой. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Доказательство второй теоремы аналогично проведенному. Обозначим фигуры, о которых говорится в условия этой теоремы, снова через Будем считать, что ни одной из этих фигур нельзя отбросить без того, чтобы оставшиеся не перестали покрывать весь многоугольник S, т. е. что каждая флгура содержит такую точку которая не покрыта никакой другой фигурой. Рассмотрим непрерывное множество заключенных одна в другой выпуклых фигур соединяющее фигуру и точку при определении фигур надо еще позаботиться о том, чтобы и граничные кривые каждых двух фигур и также пересекались не более чем в двух точках.

Если увеличивать непрерывно X, начиная от то мы встретимся с таким наименьшим значением параметра X, что некоторая точка Р шестиугольника S, покрытая фигурами лежит вне всех фигур Очевидно, что точка Р принадлежит границе одной из фигур например, границе фигуры фиксировано). Заменим теперь все фигуры при выпуклой оболочкой точки Р и первоначальной области . Этот процесс мы будем продолжать до тех пор, пока все области 04 не заменятся многоугольниками число вершин многоугольника обозначим через Многоугольники покрывают, очевидно, весь шестиугольник S. Так как в силу сделанных ранее предположений границы областей также пересекают друг друга не более чем в двух точках, то перекрывающиеся части должны с возрастанием исчезать, другими словами, стягиваться в отрезки, так что многоугольники не могут пересекать друг друга (рис 82).

Отсюда снова следует, что

Обозначим теперь -угольник максимальной площади, вписанный в область G, через и распространим функцию на все действительные значения , так чтобы она осталась выпуклой и возрастающей. В таком случае имеем:

что и требовалось доказать.

Из приведенных выше доказательств непосредственно следует, что наши теоремы справедливы также и в том более общем случае, когда фигуры не равны друг другу, а получаются одна из другой эквиаффинным преобразованием.

Рис. 82.

Так, например, не только плотность заполнения равными кругами не превосходит но и плотность заполнения равновеликими (но не обязательно равными!) эллипсами также не превосходит

В заключение заметим еще, что ограничение в формулировке теоремы, относящееся к числу точек пересечения границ покрывающих фигур, представляется излишним. Это ограничение, с одной стороны, уменьшает изящество формулировки этой теоремы; с другой стороны, оно нарушает аналогию между первой и второй теоремами. Поэтому было бы очень желательным освободить вторую теорему от этого досадного ограничения.

Доказанные в этом параграфе теоремы указывают общее направление исследований, которые, вытекая из указанных выше источников (2,1) и (2,2), постепенно разрастаются, образуя единый поток. Мы покинем на некоторое время этот поток для того, чтобы заняться некоторыми близкими вопросами. Дальнейший путь этого потока мы проследим в гл. V.