§ 8. Одно общее неравенство

Докажем одно общее неравенство, которое допускает разнообразные применения. Оно читается следующим образом:

Пусть сфера F единичного радиуса разбита сетью линий вершинами и k ребрами на выпуклых сферических многоугольников пусть произвольные точки F и функция, строго убывающая в интервале . Тогда Г

где — элемент площади в переменной точке Р и прямоугольный сферический треугольник ABC, углы А и В которого равны

Равенство здесь достигается только в том случае, кбгда N есть сферическая сеть, получаемая проектированием на сферу из ее центра ребер правильного вписанного многогранника, а -центры граней сети.

Следующая теорема представляет собой частный случай последнего результата

Пусть суть точек единичной сферы — сферическое расстояние от произвольной точки Р сферы до ближайшей к ней из точек — равносторонний сферический треугольник площади сферическое расстояние от Р до ближайшей к Р вершины треугольника. Если, далее, а есть строго убывающая в интервале функция, то

Равенство здесь достигается только тогда, когда точки являются вершинами правильного многогранника с треугольными гранями.

Неравенство (2) есть сферический аналог неравенства (111,8,4). Доказательство неравенства (1) весьма близко к доказательству (111,8,4). Определим сначала функцию

где s есть сегмент, отрезанный большой окружностью от сферического круга К с центром О. Так же как и в случае плоскости, можно показать, что, с одной стороны, функция при является выпуклой и, с другой стороны,

где t означает пересечение К со сферическим треугольником, одна вершина которого диаметрально противоположна точке О.

Так как интеграл при переменной точке очевидно, достигает максимума для точки, лежащей внутри то можно предположить, что , - лежит внутри Обозначим вершины сферического многоугольника взятые в циклическом порядке, через и круг с радиусом АВ и центром -через и рассмотрим лежащие вне части круга первая из которых ограничена большими окружностями , вторая и т. д. Если опустить общее интегральное выражение под знаком интеграла, то можно будет написать

где означает часть лежащую вне Сложив соответствующие равенства, отвечающие значениям и заметив, что общее число обтастей равно мы получим, учитывая сделанные выше замечания:

где К означает круг радиуса АВ с центром А и — интеграл

Если положить теперь очевидно,

Следовательно, наше неравенство можно записать следующим образом:

Здесь t означает ту часть круга К, которая дополняет сегмент тощади до сегмента площади как, однако, в силу монотонности функции сумма обоих последних членов в последнем неравенстве не превосходит 0, то имеем:

Но

и, следовательно, есть не что иное, как площадь сегмента круга К, отрезанного большой окружностью ВС, что и доказывает неравенство (1). Равенство здесь достигается только в том случае, если круги полностью покрывают сферу и области суть равные части круга. В этом случае многоугольники являются равными правильными многоугольниками с центрами

Укажем теперь несколько применений доказанной теоремы, получающихся при специализации функции . В этих применениях будут встречаться также и не строго монотонные функции. Различие здесь возникает только тогда, когда требуется выяснить условия равенства, что во всех рассматриваемых специальных случаях может быть сделано непосредственно без особого груда.

Для возрастающей функции неравенства должны быть заменены аналогичными, в которых стоит знак

Спроектируем сферическую область G из центра О на плоскость, касающуюся сферы в точке А. Ясно, что объем получающегося конуса выражается интегралом вида

где возрастающая функция, а именно

Пусть теперь — центральные проекции граней содержащего шар выпуклого многогранника и — нормали к его граням; тогда неравенство (1), где есть рассматриваемая функция дает оценку (4,1) [138].

Если принять за функцию

то мы получим усиление неравенства (4,1), согласно которому объем многогранника может быть заменен объемом той части многогранника, которая содержится в концентрическом шаре радиуса Это пространственный аналог теоремы (1,3,3).

Отметим еще следующий частный случай последней усиленной теоремы

Если S есть пересечение -гранника, описанного вокруг единичного шара, с концентрическим шаром радиуса

В качестве совсем специального, однако, интересного применения неравенства (2) упомянем следующее экстремальное свойство икосаэдра: объем общей части двенадцати равных шаров, которые все содержат внутри себя определенный единичный шар, будет достигать минимума в том случае, когда шары касаются единичного шара в вершинах правильного икосаэдра

Займемся теперь вопросом о том, какая часть поверхности шара может быть покрыта данными равными сферическими кругами. Чтобы прийти к более удобным выражениям, введем сначала плотность d и меру покрытия 8 системы фигур относительно области G. Если обозначить сумму площадей частей фигур, лежащих в G, через Е и часть G, покрытую фигурами, через , то определятся как отношения . Теперь мы можем следующим образом сформулировать интересующее нас предложение:

Пусть на сфере радиуса 1 задана система равных кругов плотности d. Чтобы определить меру покрытия 8 системы, рассмотрим равносторонний сферический треугольник площади и опишем вокруг всех вершин сферические круги равные кругам системы. В таком случае система имеет относительно плотность d, а ее мера покрытия такова, что

Эта теорема отвечает теореме, выраженной неравенством (III,8,3); она содержит в себе также оценки (1,1) и (1,2), аналогично тому, как неравенство (III, 8, 3) содержит (III,8,1) и (III,8,2).

Укажем еще неравенство

которое дает точную оценку меры покрытия;

не зависящую от числа сферических кругов. Величина тождественна с функцией, введенной выше в связи с неравенством (III,8,3).

Она определяет меру покрытия бесконечной системы равных кругов плотности d, центры которых образуют решетку равносторонних треугольников.

Переходя к доказательству нашей теоремы, заметим прежде всего, что тот факт, что система имеет относительно плотность d, является тривиальным. Если обозначить сумму углов через а, то, учитывая равенство

получим, что искомая плотность равна .

Наиболее существенная часть теоремы, т. е. неравенство (4), является непосредственным следствием (2) для убывающей функции

В этом случаг левая часть неравенства (2) как раз и составляет поверхность части F, покрытой сферическими кругами с центрами и (сферическим) радиусом .

Сходное значение имеет и интеграл в правой части. Разделив обе части (2) на мы получим требуемое неравенство (4).