§ 4. Объем описанного многогранника

В предыдущем параграфе мы познакомились с неравенством (3,2), относящимся к многогранникам с наперед заданным числом k ребер, в котором равенство достигается для пяти правильных многогранников. Такое неравенство может иметь место лишь в том случае, если величина, максимум или минимум которой ищется, имеет одинаковые значения для многогранников и для многогранников и (5 ,3). Это действительно имеет место для величины . В общем же случае в неравенстве, выражающем экстремальное свойство всех пяти правильных многогранников, должны фигурировать и число вершин и число граней многогранника. Для того чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, упомянутое уже во введении к настоящей главе, мы рассмотрим следующую теорему:

Если выпуклый многогранник V, имеющий вершин, граней и k ребер, заключает внутри себя единичный шар, то

причем равенство достигается только для правильного многогранника, описанного вокруг единичного шара (121].

Так как каждый многогранник с гранями можно рассматривать как многогранник, имеющий вершин, в каждой из которых сходятся по три грани и ребер, то из неравенства (1) следует, что для каждого -гранника содержащего единичный шар,

Так как, далее, многогранник с вершинами всегда можно рассматривать как многогранник, имеющий треугольных граней и ребер, то для каждого многогранника с вершинами, содержащего единичный шар,

Можно, однако, показать, что последовательности

и

монотонно уменьшаются, стремясь к пределам . В силу этого мы приходим к неравенстнам

Для доказательства неравенства (1) выделим одну грань t рассматриваемого многогранника. Число вершин t обозначим через и центральную проекцию t на сферу — через т. Мы утверждаем, что

Это неравенство выражает то обстоятельство, что из всех многоугольников t постоянной площади и фиксированного числа вершин, плоскости которых не пересекают единичного шара, проекция из центра шара на его поверхность (т. е. телесный угол, под которым многогранник виден из центра шара) будет наибольшей для правильного многоугольника, касающегося шара в центре многоугольника.

Можно с самого начала считать, что плоскость многоугольника t касается шара в некоторой точке А, так как в противном случае можно было бы сдвинуть t так, чтобы проекция увеличилась. Обозначим стороны t через их середины — через и расстояния сторон от А — через . Если t есть правтьный -угольник с центром А, то

Достаточно показать, что если для какого-то l сторона не перпендикулярна или , то можно увеличить.

Предположим, например, что не перпендикулярно . Если повернуть вокруг на бесконечно малый угол то площадь t не изменится (если пренебречь бесконечно малыми, имеющими более высокий порядок, чем ). Но так как проекция точки не будет совпадать с центром (серединой) проекции стороны то площадь при этом повороте изменится. При этом можно так подобрать направление вращения, чтобы площадь увеличилась. Таким образом, должно быть этим самым одновременно показано, что точка А должна лежать внутри t.

Предположим теперь, что и но, например, Сдвинем параллельно стороны в направлениях, перпендикулярных этим сторонам на бесконечно малые расстояния так, чтобы для связанных с этими сдвигами приращений площади многоугольника t было Тогда для соответствующих приращений площади проекции мы будем иметь Действительно, трапеции можно так разбить на элементарные части, что каждой части соответствует равновеликая ей часть которая, однако, в силу предположения более удалена от А. Но элементу площади, лежащему дальше, очевидно, соответствует меньшая проекция. Если произвести сдвиг так, чтобы бы то то мы получим этим и доказывается рассматриваемое экстремальное свойство правильного многоугольника, а следовательно, и неравенство .

Воспользуемся теперь тем, что функция двух переменных при является выпуклой функцией. Отсюда сразу следует эквивалентное (1) неравенство

Единственную трудность в этом принципиально очень простом рассуждении составляет то досадное обстоятельство, что функция слишком сложна для того, чтобы можно было прямо провести вычисления, доказывающие ее выпуклость.

Мы удовлетворимся графическим изображением кривых (рис. 98), которые позволят эмпирически установить выпуклость функции , выражающуюся в том, что середина каждого отрезка, соединяющего точку кривой с точкой кривой лежит выше кривой

Приведем здесь еще совсем другое совершенно строгое доказательство неравенства (1). Заметим, что боковая поверхность многогранника; таким образом, нам надо лишь определить наименьшее возможное значение F. Пусть А есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на грань t многогранника, BD - сторона многогранника t и С — основание перпендикуляра, опушенного из А на прямую

Рис. 98.

Мы можем предположить, что основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на стороны одной грани, все лежат на соответствующих сторонах (не на их продолжениях!), так как в противном случае грань можно было бы заменить многоугольником меньшей площади, также лежащим вне шара, но уже удовлетворяющим нашему условию, причем число сторон многоугольника и площадь его проекции на поверхность шара останутся прежними. Если же это условие имеет место, то поверхность многогранника можно разбить на прямоугольных треугольника, одним из которых является треугольник

Обозначим центральную проекцию треугольника ABC на шар через АВС, углы прямоугольного сферического треугольника АВС при вершинах А и В — через гипотенузу АВ — через с. Так как , то

Так как, однако, функция в области, определенной неравенствами выпукла

Но это как раз и есть доказываемое неравенство (1)

Равенство в (1) достигается только в том случае, если все грани многогранника касаются шара и все треугольника равны, что выполняется лишь для правильного многогранника, описанного около шара.

Впоследствии мы получим еще одно доказательство неравенства (1) - как следствие более общего неравенства