§ 12. О формуле осреднения

Мы видели в § 4, что наибольшее число единичных кругов, которые можно так расположить в выпуклой области , чтобы они не пересекались, удовлетворяет неравенству

Далее мы имели следующую оценку для наименьшего числа N единичных кругов, которыми можно полностью покрыть выпуклую область Т

Теперь мы хотим, наоборот, оценить снизу и N сверху. Хадвигер указал весьма изящный путь для получения подобных оценок, опирающийся на одну формулу осреднения, которая может быть применена к самым разнообразным вопросам, а не только к интересующим нас задачам. Эта формула осреднения указывает ожидаемое число выпуклых фигур, задетых какой-либо выпуклой шайбой, брошенной наугад на плоскость, покрытую бесконечной системой выпуклых фигур.

Вместо выпуклых фигур можно рассмотреть произвольную систему односвязных областей пусть в плоскости, на которой расположены эти фигуры, движется некоторая иная фигура Т, от которой мы тоже будем требовать лишь односвязности. Фиксируем положение Т и найдем число тех односвязных кусков, из которых состоит пересечение затем подсчитаем общее число кусков

Если все фигуры выпуклы, то есть не что иное, как число областей системы пересекающихся с Т. Наконец, определим среднее число кусков S формулой

где - кинематическая плотность фигуры Т, и означает интегрирование по всем положениям Т, для которых Г пересекается с кругом К(R) радиуса

Нетрудно доказать следующую теорему:

Пусть в плоскости, в которой задана система односвязных областей движется еще одна односвязная фигура Т периметра L.

Если существуют среднее число А фигур системы, а также средняя площадь Т и средний периметр L фигур, то существует также среднее значение S числа всех кусков, из которых состоят пересечения причем

Если рассмотреть функционал , сопоставляющий каждой области число

то согласно основной кинематической формуле (II, 7, 3)

Следовательно, среднее значение этого функционала

Далее, с одной стороны,

с другой стороны, в силу формулы (II, 7, 2),

Итак, S есть не что иное, как плотность функционала у:

поэтому

что нам и требовалось доказать.

Применим формулу осреднения (1) к случаю, когда область движется на плоскости, на которой имеется единичная решетка таких же фигур.

Эта решетка фигур получается, если Г сдвигается при помощи всевозможных параллельных переносов, переводящих определенную точку области Т в точки с целочисленным i координатами (рис. 84).

В этом случае и , и, следовательно,

Так как, кроме того, можно сччтать граничную кривую области Т односвязной фигурой нулевой площади и периметра то для среднего числа точек пересечения граничных кривых мы получим оценку

Рис. 84.

Комбинируя оба последних равенства, получаем замечательное изопериметрическое равенство Хадвигера

Заметим, что каждому односвязному куску, из которых состо пересечение двух разных фигур, отвечают по крайней мере две точки пересечения. Следовательно, в каждом положении области Г число точек пересечения и, следовательно,

Особенно простым становится это соотношение для выпуклых фигур. Здесь изопериметр щеский дефицит, если отвлечься от множителя равен средней величине избытка числа точек пересечения границ над двойным числом самих пересечений [84].

Вернемся теперь к нашим исходным задачам. Рассмотрим систему граней правильного вырожденного многогранника с единичными ребрами. Для этой системы шестиугольников .

Если в плоскости движется односвязная фигура Т, периметра L (рис. 85), то среднее число кусков, на которое она разбивается нашей решеткой, равно

Если, например, то, наверное, можно найти такое положение фигуры Т, для которого (рис. 85).

Рис. 85.

Так как далее, с одной стороны, число шестиугольников, пересекающихся фигурой, ни при каком ее положении не может превосходить числа кусков S и, с другой стороны, эти шестиугольники полностью покрывают Т, то можно указать такое положение фигуры Т, в котором Т покрывается самое большее шестиугольниками замощающей системы. Если заметить еще, что при этом фигура Т, естественно, покрывается также описанными кругами соответствующих шестиугольников, то легко заключить, что вообще

Чтобы покрыть односвязную фигуру Т периметра L, достаточно

единичных кругов.

Пусть теперь Т есть выпуклая фигура, радиус вписанного круга которой — ее внутренняя параллельная оболочка ширины 2 и — периметр рассмотрим еще систему единичных кругов, образующую плотнейшее заполнение плоскости (рис. 86). Здесь следовательно, среднее число единичных кругов, пересекающихся с равно

Так как, однако, единичные круги, пересекающие , очевидно, целиком лежат в Т, то можно утверждать:

Наибольшее число единичных кругов, которые могут быть расположены без пересечения внутри выпуклой фигуры Т с радиусом вписанного круга не меньше, чем

где — площадь и периметр внутренней параллельной оболочки фигуры Т ширины 2.

Рис. 86.

Для круга радиуса R это число равно

а для квадрата с длиной стороны и

В заключение применим формулу осреднения (I) к системе точек, среднее число которых равно А В силу среднее значение N количества точек, попавших в движущуюся фигуру Т, здесь равно

Если провести все доказательство специально для этого особого случая, то легко заметить, что здесь можно отказаться от требования односвязности области Т и что та же самая формула осреднения сохраняет силу и в том случае, если Т движется не произвольным образом, а только переносится параллельно Следовательно, можно сдвинуть фигуру Т в плоскости системы точек так, чтобы число покрытых точек системы было не меньше, чем АТ, где А есть среднее число точек системы. Это более общая формулировка теоремы Блихфельда [1], относящейся к плоским точечным решеткам

Если рассмотреть систему вершин многогранника [3,6] с единичным ребром, то можно получить, что число заключающихся в области G точек, среднее расстояние между которыми равно 1, не меньше