ГЛАВА VII. РАСПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

В § 1 мы постараемся сориентироваться в задачах о расположениях в пространстве. Затем мы обратимся к задаче о плотнейшем заполнении пространства шарами, т. е. о том, какую часть пространства можно заполнить равными материальными (т. е. не пересекающимися) шарами. Тот, кто впервые сталкивается с этим весьма просто звучащим и очень естественным вопросом, вряд ли может предположить, что здесь идет речь о весьма трудной задаче, которая до сих пор еще не решена. В чем состоит трудность и как можно ее преодолеть? На эти вопросы мы пытаемся дать ответ в § 2. В § 3 мы обратимся к одной экстремальной задаче, относящейся к разбиению пространства на части, которая тоже связана с проблемой о плотнейшем заполнении пространства шарами, в то время как § 4 посвящен пространственному аналогу рассмотренной выше для случая плоскости формулы осреднения (III, 12,1).

§ 1. Общие замечания

Задача о плотнейшем заполнении плоскости кругами приводит к решетчатому (в основном; ср. выше, стр. 106—107) расположению кругов. Чтобы разобраться в пространственной ситуации, мы рассмотрим прежде всего плотнейшее решетчатое расположение материальных шаров в пространстве (рис. 116). Его можно описать следующим образом. Пусть есть плотнейший слой шаров, т. е. система равных шаров, центры которых расположены в одной плоскости и при том так, что каждый шар касается шести других. Положим на слой другой такой же слой шаров так чтобы каждый шар слоя касался трех шаров слоя .

Параллельный перенос, который переводит в переводит в обратный параллельный перенос приводит к слоям Плотнейшее решетчатое расположение шаров состоит из слоев

Здесь каждый шар касается 12 других, а именно, шести шаров того же самого слоя, трех шаров нижнего слоя и трех шаров верхнего слоя.

Рис. 116.

Аналогично тому, как это было в случае плоскости, каждая система шаров в пространстве приводит к разбиению пространства на выпуклые многогранники. Эти многогранники, которые мы будем также называть ячейками, в случае только что рассмотренного расположения шаров будут являться ромбододекаэдрами. Плотность полученного заполнения пространства шарами равна отношению объема шара к обьему описанного ромбододекаэдра, т. е.

Центры шаров, образующих плотнейшее решетчатое заполнение пространства, образуют так называемую гранецентрированную кубическую решетку, которая получается, если к точкам обычной кубической решетки присоединить еще центры граней кубов (рис. 117).

Отметим здесь определенное отличие от двумерного случая, заключающееся в том, что в пространственном случае существует также иное правильное, но не решетчатое расположение шаров, имеющее ту же самую плотность

При этом система шаров называется правильной, если, кратко говоря, один шар не отличается своим расположением в системе от остальных шаров, т. е., точнее, если каждые два шара можно перевести один в другой при помощи гак называемого само совмещающе движения системы, переводящего всю систему в целом в себя.

Для того чтобы получить это расположение, заменим шаровой слой слоем который получается из слоя симметрией относительно плоскости центров шаров слоя

Рис. 117.

Рис. 118.

Шары слоя попадут в те впадины слоя , которые не заполнены шарами слоя . Если отразить теперь от плоскости центров слоя , то мы получим прежний слой . Требуемое расположение шаров получается посредством продолжения подобных зеркальных отражений в обоих направлениях.

Здесь также каждый шар касается двенадцати других шаров, но несколько другим образом (рис. 118).

Ячейки этого расположения шаров получаются из ромбододекаэдра следующим образом: надо разрезать ромбододекаэдр плоскостью, проходящей через шесть центров граней ромбододекаэдра, на две части, каждая из которых представляет собой правильную шестиугольную призму, увенчанную, наподобие пчелиным сотам, тремя ромбами; затем повернуть одну из частей на 60° и соединить снова обе частив этом их новом положении (рис. 119). Полученный многогранник представляет собой двенадцатигранник, ограниченный шестью ромбами и шестью равнобедренными трапециями; его, как и ромбододекаэдр, можно назвать удвоенным сотом.

Рис. 119.

Оба эти многогранника можно рассматривать как пространственные аналоги правильного шестиугольника, так как их можно также определить как такие описанные вокруг шара многогранники, все двугранные углы которых равны 120°.

Итак мы видим, что новый слой можно наложить на имевшиеся ранее, двумя существенно различными способами. Эти две возможности можно комбинировать любым способом; при этом получается, вообще говоря, неправильное расположение шаров, имеющее ту же самую плотность

Ячейками такого расположения будут являться удвоенные соты обоих родов.

Весьма вероятно., что плотность не может быть превзойдена ни при каком расположении непересекающихся шаров. Это означало бы, что в соответствующей пространственной задаче роль правильного шестиугольника играют удвоенные соты.

Однако это не является общим законом, так как в других задачах дело обстоит по-иному. Противоречащий пример доставляет уже задача о редчайшем покрытии пространства шарами. Если описать вокруг каждой точки гранецентрированной кубической решетки равные шары так, чтобы они покрыли все пространство, то плотность полученной системы шаров будет равна

Рис. 120

Если же, наоборот, исходить из пространственно-центрированной кубической решетки, которая получается из точек обычной кубической решетки добавлением к ней центров всех кубов (рис. 120), то мы получим решетчатое покрытие пространства шарами со значительно меньшей плотностью . Ячейки это! точечной решетки являются равными архимедовыми многогранниками типа (4, 6, 6). Будем называть эти многогранники усеченными октаэдрами.

Другая задача состоит в следующем: требуется разбить пространство на равновеликие выпуклые многогранники, например, единичного объема так, чтобы средняя поверхность многогранников была возможно меньшей.

Учитывая теорему Линделёфа—Минковского и известное экстремальное свойство пчелиного сота [16,1, прежде всего, естественно, приходит в голову мысль о разбиении пространства на удвоенные соты. Однако поверхность удвоенного сота объема 1 равна в то время как поверхность усеченного октаэдра объема 1 меньше — она равна . Следовательно, при постройке стен, разбивающих область большого объема на единичные усеченные октаэдры, требуется примерно на меньше материала, чем при разбиении нашей области на то же число удвоенных сотов (считая в обоих случаях толщину стен одинаковой).

То обстоятельство, что при обобщении на случай пространства различных плоских задач роль правильного шестиугольника играют разные многогранники, по-видимому, связано с тем, что в ряде задач существенно, чтобы искомый многогранник был описан вокруг шара, а в других, напротив, требуется, чтобы он был вписанным. В плоскости это различие не играет роли, так как правильный шестиугольник одновременно является и вписанным и описанным многоугольником. Напротив, удвоенные соты являются лишь описанными, но не вписанными многогранниками, в то время как усеченный октаэдр является вписанным многогранником, но не описанным.

Следует при этом иметь в виду, что мы пока еще не имеем достаточно веских оснований для того, чтобы считать, что все пространственные аналоги плоских задач, приводящих к разбиению плоскости на правильные шестиугольники, обязательно приводят к разложению пространства на удвоенные соты или на усеченные октаэдры.