ГЛАВА V. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Задачи о плотнейшем заполнении сферы кругами и о редчайшем покрытии ее кругами в случае 4, 6 или 12 кругов приводят к таким расположениям кругов, при которых центры кругов являются вершинами вписанного в сферу правильного тетраэдра, октаэдрл или икосаэдра. Напротив, при наиболее выгодном расположении 8 или 20 кругов центры кругов не лежат в вершинах правильного гексаэдра и додекаэдра. Таким образом, в этих задачах особую роль играют правильные многогранники с треугольными гранями Однако, так как, например, при плотнейшем расположении 12 равных кругов на сфере плоскости кругов ограничивают правильный додекаэдр, то те же задачи допускают также гакую формулировку, которая позволит выделить правильные многогранники с трехгранными углами.

В этой главе мы встретим и другие экстремальные свойства правильных многогранников с треугольными гранями или с трехгранными углами. Выражением этих экстремальных свойств будут служить определенные оценки, которые будут справедливы для многранников с любым числом вершин или граней, но будут точно достигаться лишь при и 12; для больших значений соответствующие формулы дадут точные асимптотические оценки.

«Истинные» пространственные анатоги экстремальных свойств правильных многоугольников мы получим, однако, лишь тогда, когда мы условимся задавать одновременно и число вершин и число граней многогранника. При этом удается в некоторых случаях прийти к оценкам, выражающим экстремальные свойства всех пяти (а иногда даже и всех восьми [110]) правильных многогранников.

Напротив, при отыскании оценок для суммы длин ребер многогранника мы столкнемся также с таким и экстрема щным и задачами, решение которых не зависит от числа вершин или граней и дается каким-либо одним определенным правильным многогранником, например кубом. В двух последних параграфах мы рассмотрим некоторые задачи, относящиеся к расположениям на произвольной выпуклой поверхности.