§ 2. Аффинное преобразование и полярное преобразование

Пусть О — фиксированная точка плоскости и А — заданное положительное число. Сопоставим каждой точке Р плоскости такую точку Р луча ОР, что . Полученное отображение плоскости на себя называется (подобным) сжатием к точке О или гомотетией. Две фигуры, которые можно перевести друг в друга сжатием к точке (гомотетией) или параллельным перенесением, называются гомотетичными. Общее преобразование подобия складывается из сжатия к точке и последующего движения.

Заменим теперь точку О прямой g. Сопоставим каждой точке Р плоскости следующую точку Р: F есть ортогональная проекция Р на g, и Р — такая точка луча FP, что . Это преобразование называется (аффинным) сжатием к прямой g. Общее аффинное преобразование складывается из сжатия к прямой и последующего преобразования подобия.

Аналогичным образом можно определить и в пространстве подобное сжатие к точке, общее преобразование подобия, (аффинное) сжатие к плоскости и, наконец, общее аффинное преобразование, складывающееся из двух последовательных сжатий к двум плоскостям и из преобразования подобия.

Окружность переходит при аффинном преобразовании в эллипс, шар в эллипсоид. Прямая переходит при аффинном преобразовании снова в прямую и плоскость опять в плоскость. Кроме того, при аффинном преобразовании сохраняется параллельность двух прямых (или плоскостей), отношение двух параллельных отрезков и отношение площадей двух фигур (объемов двух тел). Отсюда следует, что центр тяжести фигуры (или тела) переходит в центр тяжести преобразованной фигуры (тела) и что аффинное преобразование, которое переводит какую-либо фигуру в равновеликую фигуру (или тело — в равновеликое тело) сохраняет площадь (объем) любой фигуры (любого тела). Если — два любых треугольника (или тетраэдра), то существует единственное аффинное преобразование, которое переводит в [4].

Многоугольник, который получается аффинным преобразованием из правильного многоугольника, мы будем называть аффинно правильным. Аффинно правильный -угольник можно представлять себе как результат параллельного проектирования правильного -угольника на другую плоскость.

Другим важным преобразованием, которым мы в дальнейшем будем пользоваться, является полярное преобразование относительно окружности (или шара). Пусть К есть окружность (шар) с центром О и радиусом г. Полярное преобразование относительно К переводит каждую отличную от О точку Р плоскости (пространства) в ту прямую (плоскость) , которая перпендикулярна к лучу ОР и пересекает этот луч в точке Р, такой, что Обратно, это преобразование переводит каждую прямую (плоскость) , не проходящую через О, в точку Р, образом которой является .

Важнейшее свойство полярного преобразования заключается в том, что оно переводит инцидентные точки и прямые (точки и плоскостл) в инцидентные прямые и точки (плоскости и точки). Отсюда следует, например, что при полярном преобразовании плоскостл точка пересечения двух прямых переходит в прямую, соединяющую две точки образы этих прямых. Следовательно, многоугольник (многогранник) переходит полярном преобразовании в новый многоугольник (многогранник), причем вершины одного многоугольника (многогранника) переходят в стороны (грани) другого.

Далее, полярное преобразование переводит коническое сечение снова в коническое сечение в том смысле, что точки одного конического сечения переходят в касательные другого, — это есть один из основных фактов проективной геометрии. Аналогично при полярном преобразовании в пространстве невырожденная поверхность второго порядка переход в подобную же поверхность [5].

Мы докажем теперь следующее вспомогательное предложение, которое будет использовано в дальнейшем.

Если при полярном преобразовании относительно единичного шара эллипсоиды Е и Е переходят один в другой, то

причем равенство достигается в том и только в том случае, когда центры эллипсоидов Е и Е совпадают с центром единичного шара, относительно которого производится преобразование.

Для доказательства рассмотрим прямоугольную систему координат, начало О которой совпадает с центром единичного шара и оси параллельны осям эллипсоида Е. Так как эллипсоид переходит снова в эллипсоид, т. е. в ограниченное тело, то Е должен заключать внутри себя начало координат О, так как иначе касательной плоскости Е, проходящей через О, соответствовала бы «бесконечно удаленная» точка Е. Поэтому, если мы обозначили координаты центра Е через и то должно быть

Рассмотрим теперь касательные плоскости Е в концах его оси длины . Этим плоскостям отвечают две точки Е, лежащие на оси и удаленные друг от друга на расстояние

Повторив это рассуждение для осей эллипсоида Е длины мы получим, что эллипсоид Е имеет три взаимноперпендикулярные хорды, длины которых не меньше . Диаметры Е, параллельные этим хордам (т. е. координатным осям) имеют длины , так как они не могут быть меньше рассматриваемых хорд, то

Обозначим теперь через Е тот из эллипсоидов с диаметрами АА, ВВ и СС, который имеет наименьший объем. Мы утверждаем, что главные оси совпадают с АА, ВВ и СС. Действительно, в противном случае касательная плоскость Е в точке А не будет параллельна плоскости ВВСС. Тогда можно заменить диаметр АА эллипсоида Е новым диаметром DD. так, чтобы объем выпуклой оболочки Н отрезков DD, ВВ и СС был больше, чем объем выпуклой оболочки Н отрезков АА, ВВ и СС. Рассмотрим теперь аффинное преобразование, переводящее октаэдр Н в Н. Так как аффинное преобразование сохраняет отношение объемов и то такое преобразование переводит эллипсоид Е в меньший. Это противоречит, однако, предположению о том, что эллипсоид Е — минимальный.

Итак, мы имеем:

чем и доказано неравенство (1). Равенство может достигаться только в том случае, если т. е. если центр эллипсоида Е (а следовательно, и центр Е) совпадает с центром единичного шара. То, что в этом счучае равенство действительно имеет место, совершенно ясно.