§ 6. Неравенства, связывающие радиусы вписанного и описанного шаров выпуклого многогранника

Если и R — радиусы вписанного и описанного шаров выпуклого многогранника V с гранями, вершинами и k ребрами, то из (4,1) и (5,3) следуют неравенства

Отсюда вытекает неравенство

где — среднее число сторон одной грани и среднее число ребер, исходящих из одной вершины [130].

К сожалению, в силу неполноты доказательства (5,3) неравенство (1), строго говоря, можно рассматривать лишь как вероятную гипотезу. Поэтому мы остановимся на некоторых частных случаях неравенства (1), которые могут быть доказаны совсем строго. Так, например, с помощью рассуждений, близких к данному в § 1 доказательству неравенства (1,2), можно показать, что:

Если и R суть радиусы наименьшего шарового слоя выпуклого многогранника, то

где — среднее число сторон одной грани, и q — среднее число ребер, исходящих из одной вершины. При этой равенство здесь достигается только для случая правильного многогранника .

Пусть есть последовательность выпуклых многогранников с числом граней радиус вписанного шара которых неограниченно увеличивается, и — грани . Если можно перенумеровать грани так, чтобы в каждом столбце схемы

стояла сходящая последовательность многоугольников, то последовательность мы будем называть сходящейся. Предельный «многогранник» в этом случае представляет собой разбиение плоскости на выпуклые многоугольники.

Можно показать, что существует такая последовательность многогранников РА, сходящихся к «многограннику» {3, 6}, {4, 4} или {6, 3}, для которой

Или, наоборот, если сходящаяся последовательность выпуклых многогранников удовлетворяет условию (3), то предельный «многогранник» «по существу» правильный. Это значит, что почти все грани предельного «многогранника» суть примерно равные правильные многоугольники (в том смысле, в каком это понималось при определении шестиугольного расположения кругов на плоскости, см. § 3 гл III). Таким образом, можно сказать, что неравенство (2) выражает экстремальное свойство всех восьми правильных многогранников .

Упомянем теперь следующую теорему:

Радиусы и R вписанного и описанного шаров выпуклого многогранника с вершинами или гранями связаны неравенством

Или, более обще, если выпуклый многогранник с вершинами или гранями содержит эллипсоид и содержится в эллипсоиде Е, то

Если означает число вершин, то неравенство (5) есть непосредственное следствие неравенств Справедливость теоремы для -гранника U вытекает отсюда с помощью неравенства (1,2,1). Пусть Е — эллипсоид, содержащий U внутри себя, и — эллипсоид, содержащийся в без ограничения общности мы можем предположить, что есть единичный шар. Тогда полярное преобразование относительно переводит -гранник U в многогранник с вершинами, содержащийся в с, и в эллипсоид Е, содержащийся в этом многограннике. Учитывая (1,2,1) и справедливость неравенства (5) для многогранника с вершинами, мы можем заключить отсюда, что

С вышеупомянутой теоремой связана еще следующая задача. Рассмотрим эллипсоид максимального объема, содержащийся в многограннике, и эллипсоид Е минимального объема, содержащий этот многогранник внутри себя; эти эллипсоиды можно назвать вписанным и описанным эллипсоидами. Спрашивается: для каких многогранников с фиксированным числом вершин (или граней) частное — достигает минимума? Другими словами, нас интересует тот многогранник с вершинами или с гранями, который в определенном смысле лучше всего приближается эллипсоидом.

В случае аналогичной двумерной задачи экстремальный многоугольник будет аффинно правильным. Для такого многоугольника вписанный и описанный эллипсы концентричны и гомотетичны. Неравенство (5) дает решение нашей задачи для случаев n = 4, 6 или 12; в этих случаях вписанный и описанный эллипсоиды экстремального многогранника также концентричны и гомотетичны. Мы хорошо знаем, что нельзя ожидать, чтобы экстремальный многогранник можно было определить для любого числа вершин или граней. Все же естественно спросить: во всех ли случаях вписанный и описанный эллипсоиды экстремального многогранника будут концентричны и гомотетичны?

Покажем, что два эллипсоида, отвечающие экстремальному многограннику, будут концентричны, но, вообще говоря, не гомотетичны.

Чтобы доказать первую часть этого утверждения, рассмотрим -гранник U, вписанный и описанный эллипсоиды и Е которого не концентричны. Полярное преобразование относительно преобразует U в многогранник U с вершинами, который расположен внутри и вне эллипсоида Е, где Е — образ эллипсоида Е. Произведем теперь еще полярное преобразование относительно Е, которое преобразует в и U в -гранник . Учитывая (1,2,1) [132], мы получим:

Так как, однако, многогранник также заключен между и Е, то это неравенство показывает, что — более выгодный многогранник, чем U, и следовательно, U — не экстремальный.

Покажем теперь, что уже в случае экстремального многогранника Р с вершинами и Е не гомотетичны. Действительно, если бы они были гомотетичны, то можно было бы считать, что они являются концентрическими шарами. Следовательно, Р был бы аффинным образом того многогранника Р с 5-ю вершинами, для которого отношение — радиусов минимального шарового слоя является минимальным. Но легко усмотреть, что Р есть выпуклая оболочка северного и южного полюсов своего описанного шара и правильного треугольника, вписанного в экватор. Будем считать теперь, что наш экстремальный многогранник Р совпадает в таком случае вписанный эллипсоид Р должен был бы совпадать с его вписанным шаром Однако это оказывается не верным, поскольку эллипсоид наибольшей возможной площади, содержащийся в Р, есть эллипсоид вращения, касающийся граней Р в их центрах тяжести, в то время как вписанный шар Р не обладает таким свойством.

Вопрос о том, во всех ли случаях будут концентричны вписанный и описанный шары k и К многогранника с данным числом вершин (или граней), для которого отношение — достигает минимума, пока остается открытым.