§ 13. Исторические замечания

А. Туэ [1] в своем докладе на скандинавском математическом конгрессе 1892 г. доказал теорему, которую можно сформулировать так: если F состоит из конечного числа граней многогранника с длиной ребра 1, причем общее число вершин многогранника, принадлежащих F, равно , то число точек F, расстояние между каждыми двумя из которых не превосходит единицы, не может быть больше . Из этой теоремы следует неравенство (2, 1) и, следовательно, решение задачи о плотнейшем расположении кругов. В более поздней работе снова вернулся к задаче о плотнейшем расположении кругов. В этой связи можно упомянуть еще один результат, аналогичный полученному Туэ: если G состоит из граней многогранника {6, 3) с радиусом вписанного в грань круга, равным единице, то G может содержать не больше непересекающихся единичных кругов. В противном случае можно было бы, присоединив к выбранным граням некоторые другие грани, получить замощаюшую область, в которой можно поместить больше единичных кругов, чем граней многогранника {6, 3}, что противоречит замечанию, сделанному в § 4.

Решение задачи плотнейшего покрытия кругами, сводящейся к доказательству неравенства (2,2), имеется у Кершнера [1].

При этом Кершнер заметил, что, по-видимому, не просто дать точную формулировку тому интуитивно ясному факту, что при благоприятнейшем покрытии области малыми равными кругами система центров кругов «приблизительно» образует сеть равносторонних треугольников. Такая формулировка дается приведенным в § 3 утверждением, гласящим, что экстремальные системы кругов являются сотообразными.

Неравенства (2,1) и (2,2) независимо от Туэ и Кершнера другим способом были доказаны автором [3, 8, 11]. Другие доказательства и усиления неравенств (2,1) и (2,2) имеются в работах Сегре и Малера [1], Хадвигера [3] и Верблюнского [1]. Теоремы § 4—11 принадлежат автору [15, 17,26,28, 31, 32, 37]; теоремы § 8 частично являются новыми.

Неравенство, аналогичное (10,1), однако, относящееся лишь к тому случаю, когда фигуры, помещаемые в области S, все гомотетичны, впервые вывел совершенно другим методом Роджерс [1]. С другой стороны, в этом частном случае неравенство Роджерса идет несколько дальше, чем (10,1), так как оно сохраняет свою силу и для не центральносимметричных фигур и для того случая, когда S не шестиугольник, а произвольная выпуклая область. С помощью этого неравенства можно заключить, что упомянутое в § 10 следствие неравенства (10, 1), относящееся к плотности заполнения центрально-симметричными выпуклыми фигурами, в случае гомотетичных выпуклых фигур остается в силе также для не центрально-симметричных фигур. Для негомотетичных выпуклых фигур это, естественно, уже не будет иметь место. Можно, однако, предположить, что плотность заполнения для бесконечной системы произвольных равных выпуклых фигур не превосходит плотности плотнейшего правильного заполнения. Роджерс дал также интересные применения своего неравенства к теории чисел. По поводу неравенства (10,2) можно указать еще работу Бамбаха и Роджерса

Частный случай формулы (12, 1), относящийся к решетчатой системе так же как и содержаи иеся в § 12 прщенения этой формулы, идут от Хадвигера [1, 2]. В указанном общем виде эта формула илеется в работах автора и Хадвигера [1,2].

Чтобы взглянуть на рассматриваемый круг вопросов с других точек зрения, упомянем еще несколько результатов и задач, начнем со следующей теоремы.

Из множества V равных треугольников с соответственно параллельными сторонами (т. е. получающихся друг из друга параллельным перенесением или симметрией относительно точки) всегда можно выбрать такое подмножество Т не пересекающихся треугольников, что При этом постоянную нельзя заменить большей.

Эта теорема, так же как и ряд аналогичных результатов, относящихся к равным кругам, гомотетичным квадратам и т. д., имеется у Р. Радо [1]. См. также Марцинкевич и Зигмунд [1], Т. Радо [2].

Мы назовем систему фигур отделимой, если имеется прямая g, не проходящая через внутреннюю точку ни одной из фигур системы, такая, что по обе стороны g лежит по крайней мере одна фигура системы. Согласно теореме, доказанной А. У. Гудманом и Р. Е. Гудманом каждую неотделимую систему кругов радиусов можно покрыть кругом радиуса . Эта весьма естественная, но не тривиальная теорема была впервые высказана П. Эрдешем как предположение. Другие результаты, относящиеся к неотделимым системам, имеются у Хадвигера [5].

Рассмотрим теперь конечную систему кругов такую, что ни один круг не содержит внутри себя центр другого круга. В таком случае имеет место теорема, доказанная Рейфенбергом [1], а также Бейтманом и Эрдешем [11, согласно которой наименьший круг системы может иметь общие точки не более чем с 18 другими кругами системы . Число 18 нельзя заменить меньшим: на рис. 87 изображена система равных кругов, обладающих требуемым свойством, такая, что средний круг системы пересекается равно с 18 другими кругами. Ослабленную теорему, которая получается из вышеупомянутой, если заменить число 18 на 21, нашел Безикович [1].

Теорема о числе 18 эквивалентна следующей: наибольшее число точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше чем 1 и которые можно так расположить в круге радиуса 2, что одна из них совпадает с центром круга, равно . Если отказаться от условия, что одна из точек должна лежать в центре круга, то наибольшее число точек будет равно числу кругов радиуса , которыми можно заполнить круг радиуса 2,5.

Неравенство (4,1) дает для и оценку

Рассмотрим теперь такую систему кругов, что каждые два круга этой системы имеют общую точку. При этом в общем случае мы не будем иметь точки, принадлежащей всем кругам, или, если выражаться более наглядно, нельзя проткнуть все круги системы иглой. Т. Галлай (Т. Gallai) высказал предположение, что существует такое не зависящее от системы натуральное число , что все круги системы, обладающей этим свойством, можно проткнуть иглами.

Рис. 87.

Р. Унгар и Г. Секерс (P. Unar, G. Szekeres) показали, что это предположение верно и что можно принять ; сравнительно простое доказательство этого мы предоставляем читателю. Согласно дальнейшему предположению Галлая все круги можно проткнуть уже 5 иглами.

Исходным пунктом для задачи Галлая была общая теорема Хелли [1] , которая в двумерном случае гласит, что если каждые три фигуры из некоторой системы выпуклых фигур имеют общую точку, то все фигуры также имеют общую точку.

Можно ожидать, что для нижней границы длины таких ломаных из звеньев, которые соединяют точек точечной системы со средним числом точек А, имеет место неравенство При это неравенство эквивалентно с (2,3), однако уже исследование случая по-видимому, встречает затруднения.

Дальнейшие гипотезы возникают в связи со следующей задачей: как разместить в выпуклой области точек так, чтобы кратчайшая ломаная, соединяющая эти точки, достигала своего максимума . В этом случае это означает, что точек выпуклой области Т всегда можно соединить ломаной длины приблизительно Если точки лежат в вершинах решетки равносторонних треугольников, то более короткого пути нельзя будет найти. Если Т есть единичный квадрат, то согласно Верблюнскому [2] имеет место неравенство

Интересная задача об экстремальном покрытии была поставлена Тарским и решена Бангом [1,2]: если выпуклую фигуру можно покрыть полосами ширины , то ее можно покрыть одной полосой ширины . Доказательство Банга упростил Фенхель [1] [90].

Еще не решена полностью следующая задача: какую часть плоскости можно однократно покрыть равными кругами? Если исходить из плотнейшего заполнения плоскости кругами и увеличить концентрически все круги так, чтобы каждый круг пересекался с шестью соседними в вершинах правильного -угольника, то полученная система кругов покроет плоскости. Предполагают, что это значение не может быть увеличено.

Докажем это предположение при том ограничении, что никакая точка плоскости не покрыта более чем двумя кругами. Пусть -выпуклый шестиугольник, и система конечного числа равных кругов. Если обозначим часть S, -кратно покрытую кругами, через то, с одной стороны, согласно (8,3)

с другой стороны,

Отсюда следует

Если отразить круг от шести сторон , то будет равно площади той части , которая точно один раз покрыта и зеркальными отображениями . Можно легко показать, что площадь этой фигуры при постоянном достигает своего максимума в том случае, когда границы пересекаются в вершинах правильного -угольника. Величина максимума равняется Если предположим еще, что для то имеем Отсюда посредством предельного перехода получается наше утверждение .

Высказанное выше предположение можно переформулировать так. Если бросить наудачу круг на плоскость с заданной на ней системой точек, то вероятность того, что круг покроет в точности одну точку системы, не превосходит Мы не знаем, сохраняет ли силу это предположение также и в том случае, если вместо круга рассматривать любую выпуклую фигуру.

Согласно предположению Гейльбронна из точек единичного квадрата всегда можно выбрать три точки так, чтобы площадь треугольника , определяемого этими точками, была меньше, где с — некоторая постоянная. В этом направлении известна лишь грубая оценка Рота Аналогичными вопросами о треугольнике наименьшего периметра, по-видимому, никто не занимался; здесь нет даже никаких гипотез.

Точка и проходящая через нее прямая называются линейным элементом. Два линейных элемента определяют треугольник ; называют аффинным расстоянием между линейными элементами (ср. Бляшке [3]).

Заключим в единичный квадрат коротких отрезков, представляющих линейные элементы. Пусть есть наименьшее расстояние между двумя из этих линейных элементов. Еще одна задача, аналогичная задаче Гейльбронна, состоит в нахождении зависящей только от оценки сверху для величины .

Другие задачи связаны со следующим общим понятием: система фигур называется насыщенной по отношению к фигуре G, если на плоскости нельзя расположить равную О фигуру так, чтобы она не пересекала ни одной фигуры нашей системы. В таком случае можно поставить, например, следующую задачу: какова редчайшая система единичных кругов, которая является насыщенной по отношению к данному квадрату?