§ 3. Несколько доказательств

Пусть — система единичных кругов с центрами Обозначим через множество тех точек плоскости, расстояние которых от центра не превосходит расстояния от остальных центров кругов. Множество можно также определить как пересечение всех содержащих полуплоскостей, ограниченных прямыми, перпендикулярными отрезками в их серединах. В общем случае будет представлять собой выпуклый многоугольник, который может быть также и неограниченным (рис. 58).

Чтобы еще более наглядно представить себе многоугольник будем считать плоскость «сферой бесконечно большого радиуса». Тогда многоугольник можно принять за ту грань «описанного около сферы многогранника», которая касается сферы в точке Мы будем называть ячейкой, отвечающей (или ). Вся плоскость покрывается этими ячейками без пробелов и двойных покрытий.

Если наши круги не пересекаются, то каждый круг содержится в соответствующей ячейке; если же круги покрывают всю плоскость, то, напротив, каждый круг содержит соответствующую ячейку. Поэтому, согласно (I, 3,1), имеем в первом случае:

а во втором:

где число вершмн многоугольника Р

Рис. 58.

Но — монотонно убывающая при силу

выпуклая функция от напротив, - монотонно возрастающая и в силу

вогнутая функция .

Поэтому из теоремы Иенсена следует, что , где — средняя плошадь и среднее число вершин ячейки в смысле определений § 1. Так как выше мы рассматривали ячейки как грани вырожденного многогранника, то неравенство (1,6,6) заставляет предполагать, что . Это предположение, действительно, оправдывается, откуда следует, что в случае задачи о заполнении плоскости единичными кругами

а в случае задачи о покрытии плоскости единичными кругами

Так как, однако, плотность системы единичных кругов равна , где Р — средняя площадь ячейки, то эти неравенства эквивалентны доказываемым неравенствам (2,1) и (2,2).

Набросанное выше простое рассуждение нетрудно довести до точного доказательства. Однако мы не будем задерживаться на его деталях, тем более, что впоследствии будут рассмотрены и другие строгие доказательства и различные обобщения неравенств (2,1) и (2,2).

Прежде чем обратиться к этим другим доказательствам, мы обсудим вопрос о том, в каких случаях в соотношениях (2,1) и (2,2) достигается равенство. Пусть — произвольная наперед заданная положительная величина и - подвижный (но не изменяющийся!) правильный шестиугольник. Рассмотрим те ячейки для которых при любом положении S имеем где — расстояние от 5 (см. выше, стр. 58). Обозначим через пересечение рассмотренного в § 1 круга К(R) и этих ячеек и примем, что для любого

Последнее равенство означает, что почти все ячейки плоскости могут быть с любой степенью точности заменены равными правильным 1 шестиугольниками, в том смысле, что общая площадь остальных ячеек исчезающе мала по отношению к площади всей плоскости.

Если можно найти такой шестиугольник , то систему кругов мы будем называть шестиугольной или сотообразной. Если, кроме того, круги нашей системы равны вписанному кругу правильного шестиугольника S и не пересекаются между собой, или равны описанному кругу и покрывают всю плоскость, то мы будем говорить о сотообразном заполнении плоскости кругами и о сотообразном покрытии плоскости кругами Легко видеть, что плотность таких систем кругов (и только этих систем) равна соответственно

То, что для сотообразного заполнения плоскости кругами и сотообразного покрытия плоскости кругами в соотношениях (2,1) и (2,2) достигается равенство, непосредственно очевидно. Однако то, что равенство достигается только для этих систем, можно заключить лишь на основании приведенного выше доказательства, причем это требует еще некоторых дальнейших разъяснений. Мы и здесь не будем останавливаться на деталях, тем более, что у нас еще встретятся в дальнейшем подобные же рассуждения, связанные с аналогичными задачами в пространстве.

Наметим теперь другие пути доказательства неравенств (2,1) и (2,2). При этом в последующих доказательствах замечательно то, что мы не воспользуемся неравенством или каким-либо эквивалентным ему. Такой метод представляется особенно полезным при рассмотрении еще нерешенных аналогичных пространственных задач, так как при разложении пространства на выпуклые многогранники нельзя указать никаких общих оценок сверху ни для среднего числа граней многогранника, ни для среднего числа вершин. Нижеследующие рассуждения представляют интерес также и потому, что большое число непосредственно возникающих близких по содержанию задач делает в этих вопросах методы доказательств столь же важными, как и сами результаты.

Примем снова радиус круга за единицу и покажем, что плотность заполнения не только относительно всей плоскости, но уже и относительно каждой отдельной ячейки (т. е. число ) не превосходит .

Другими словами, докажем, что не только но даже и , т. е. что площадь ячейки не может быть меньше площади описанного около круга правильного шестиугольника

Мы покажем, что даже

где U — описанный круг шестиугольника S (рис. 59). Если число вершин не превосходит 6, то наше утверждение является непосредственным следствием неравенства (I, 3,3). В случае же воспользуемся тем, что основания перпендикуляров, опущенных из центра круга на стороны удалены друг от друга на расстояние не меньше чем

Рис. 59.

Легко, однако, убедиться, что внутри кругового кольца, ограниченного и U, может поместиться не более T таких точек Так как длина стороны правильного -угольника, вписанного в круг U, равна . т. е. лишь весьма немного превосходит единицу, то становится ясным, что рассматриваемые семь точек должны лежать все очень близко к окружности круга U. Поэтому стороны в этом случае будут отсекать лишь очень небольшие секторы U и, значит, площадь пересечения может быть лишь весьма немногим меньше площади U, т. е. должна быть заметно больше Это последнее утверждение легко подтвердить численными расчетами. Мы, однако, опустим здесь эти расчеты, так как приведенные выше рассуждения сами по себе достаточно убедительны. Надо заметить еще, что нам, собственно, требуется доказать лишь неравенство Однако в рассмотренном случае часть выступающая за пределы U, значительно больше части U, выходящей за пределы так что выполняется даже неравенство

Перейдем теперь к задаче о покрытии плоскости. Изложенный ниже метод относится только к тому случаю, когда каждая часть площади плоскости покрывается не больше чем двумя кругами; несмотря на это, он заслуживает серьезного внимания в силу указанных выше причин.

Рис. 60.

Если оговоренное условие имеет место, то мы можем без дальнейшего ограничения общности принять, что не больше чем три из наших окружностей имеют общую точку, ибо случай, когда через одну точку проходят две пары касающихся кругов, можно рассматривать как предельный.

Фиксируем какой-либо круг и обозначим пересекающие круги в их циклическом порядке, через далее рассмотрим круговые двуугольники и обозначим круги, проходящие через не принадлежащие вершины этих двуугольников, через (рис. 60). Тогда сумма

достигает своего мин шума, если все фигурирующие в ней круговые двуугольники равны, т. е. если и соответствующие тринадцать кругов принадлежат редчайшему заполнению плоскости кругами.

Для того чтобы это доказать, обозначим периметр кругового двуугольника через тогда и следовательно,

Суммы углов, стоящих в скобках в последнем выражении, соответственно равны . Далее все эти углы лежат в интервале ; поэтому из вогнутости функции в этом интервале, в силу неравенства Иенсена, следует

Покажем, что при . (В случаях обязательно будет иметь место тройное покрытие кусков плоскости, соответственно касание двух кругов, так что эти случаи согласно сделанному предположено, но надо исключить.) Прежде всего мы имеем 5 (5) 4,7, 5 (6) 4,3 и . Заметим далее, что для

поэтому

чем наше утверждение полностью доказывается.

Покроем теперь каждый круг восемью бумажными дисками. Тогда круговые двуугольники очевидно, будут покрыты 16 дисками, в то время как остальные части плоскости будут покрыты лишь 8 раз. Вырежем теперь из бумажных листов круговых двуугольников, фигур фующих в сумме и повторим эту операцию для каждого отдельного круга (т. е. для всех значений ). Благодаря этому из покрытий каждого кругового двуугольника будут удалены точно 8 листов, ибо, напрлмер, двуугольник (ряс. 60) будет входить в следующие восемь сумм: Таким образом, у нас остается восьмикратное покрытие всей плоскости. А это значит, что сумма распространенная по всем кругам, дает -кратную площадь плоскости. Точнее, в обозначенных § 1 имеем:

откуда, учитывая, что

получим требуемое неравенство:

В заключение заметим еще, что сумма

достигает своего минимума для случая , и следовательно, если бы мы ограничились рассмотрением этой суммы, мы не смогли бы прийти к нужному результату.