§ 11. Редчайшая насыщенная система сферических кругов

В § 2 гл. III мы рассматривали редчайшую насыщенную систему равных кругов на плоскости. Мы видели, что задача о нахождении такой системы эквивалентна задаче о редчайшем покрытии плоскости равными кругами. В самом деле, приведенная там опенка (111,2,5) получается простым преобразованием неравенства (111,2,1). Напротив, в сферической геометрии аналогичные рассмотрения содержат один новый момент. А именно, в то время как в задаче о покрытии сферы равными (сферическими) кругами для случая двух кругов можно отметить лишь, что плотность покрытия не меньше 1 (что, разумеется, тривиально), понятие насыщенной системы кругов именно в случае двух кругов представляет особый интерес. Здесь имеет место следующая теорема:

Плотность произвольной насыщенной системы равных кругов

где равенство достигается только для двух диаметрально противоположных кругов (сферического) радиуса Другими словами, насыщенная система равных кругов может оставить свободной не больше чем поверхности сферы.

Так как неравенство (1) для числа и 2 сферических кругов является тривиальным, то мы можем ограничиться случаем Если удвоим сферический радиус (сферического) круга, то мы придем к системе кругов, покрывающих сферу. Согласно (1.2) имеем

Итак, плотность первоначальной насыщенной системы

Легко, однако, показать, последовательность монотонно уменьшаясь, стремится к пределу так что для

Заметим, что неравенство (2) дает точную границу для величины d и при , а если уговориться считать, что то также и при На рис. 102 изображены даваемые неравенством (2) нижние границы плотности d системы сферических кругов; черные точки на этом чертеже отвечают точным границам.

Наша теорема выражает лубокое экстремальное свойство рассматриваемой пары диаметрально противоположных сферических кругов, являющейся экстремальной конфигурацией для поставленной задачи (причем столь простой конфигурацией!).

Интерес теоремы еще увеличивается тем, что постоянная только немного больше чем

Из неравенства (1,1) и вышеприведенных рассуждений выводится следующая теорема:

Пусть задана насыщенная система кругов радиуса . Тогда число N кругов радиуса , которые могут быть помещены на сфере без перекрытий, таково, что

Равенство здесь может достигаться только при , хотя отношение — для достаточно малых значений может быть сделано как угодно близким к 3.

Рис. 102.

Для доказательства заметим, что при плотность насыщенной системы . Следовательно, плотность системы из или более таких же кругов больше .

Круги этой системы должны поэтому, согласно (1,1), пересекаться; таким образом, предположение, что оказывается невозможным. При имеем Следовательно, плотность системы равных сферических кругов, таких же как и круги рассматриваемой насыщенной системы, не меньше чем . Однако, в силу (1,1), величина как раз равна тому значению, которого может достигать плотность шести непересекающихся (сферических) кругов. Итак, во всех случаях имеет место неравенство (3); при этом при отношение — не может достигать предельного значения 3 (то, что при возможно соотношение легко проверить непосредственно).