§ 5. Об аффинной длине

Введенная Бляшке и Пиком аффинная длина плоской кривой есть аддитивная мера дуги, инвариантная относительно (аффинных преобразований. Она играет основную роль в аффинной дифференциальной геометрии. В нашем изложении этого вопроса мы будем в значительной мере опираться на соображения геометрической наглядности.

Сначала объясним, что следует понимать под аффинной длиной дуги единичного эллчпса, т. е. эллипса, для которого произведение полуосей равно 1. Здесь мы будем называть аффинной длиной дуги обычную длину той дуги круга, в которую переводит рассматриваемую дугу эллипса соответствующее эквиаффинное преобразование (т. е. аффинное преобразование, сохраняющее площади фигур). Далее, если К есть достаточно гладкая дуга плоской кривой (например, имеющая непрерывно меняющуюся кривизну), то мы разобьем ее на конечное число малых дуг и заменим каждую такую дугу k дугой с единичного эллипса той же обыкновенной длины, так, чтобы кривизны в какой-либо точке совпадали. Легко показать, что общая аффинная длина дуг эллипса при неограниченном увеличении числа дуг и неограниченном уменьшении наибольшей из них стремится к некоторой предельной величине зависящей только от Эту величину мы и называем аффинной длиной дуги К.

Короче говоря, мы будем рассматривать отдельные «элементарные дуги», из которых складывается вся дуга К, как дуги единичных эллипсов, полученных подходящими эквиаффинными преобразованиями из дуг единичного круга, и будем представлять себе аффинную длину X дуги как обычную длину дуги единичного круга, порождающей нашу дугу К. Остается показать, что рассмотренный предельный процесс действительно приводит к однозначно определенной предельной величине. Так как для того чтобы аффинно отобразить единичный эллипс на единичный круг

достаточно сопоставить точки, которым отвечает одно и то же значение параметра t, то этот параметр как раз выражает аффинную длину соответствующей дуги эллипса. Простой расчет показывает, что кривизна рассматриваемого

единичного эллипса выражается формулой есть элемент дуги [40]. Следовательно, элемент аффинной длины дуги единичного эллипса (т. е. эллипса, для которого ) зависит только от у и и не зависит от с и от b. Этим доказано, что сходится к определенному пределу, не зависящему от специального выбора разбиения дуги на мелкие дуги и эллипсов, приближающих эти мелкие дуги, а именно, к величине

где — так называемое натуральное уравнение кривой К.

Аддитивное свойство аффинной длины, так же как и инвариантность ее относительно эквиаффинных преобразований, с очевидностью вытекает из нашего определения. Покажем теперь, что наше определение позволяет также найти с любой точностью аффинную длину известной дуги кривой. Мы будем исходить из популярного метода построения эллипса, изображенного на рис. 47, и отметим на эллипсе точки, отвечающие, например, следующим значениям параметра

Вырежем теперь из бумаги эллипс, на котором, таким образом, нанесена шкала значений t. Полученным масштабом можно будет измерять аффинную длину любой непрерывной дуги кривой, кривизна которой в каждой точке заключается между кривизнами вершин эллипса и

Наиболее целесообразно поступать примерно следующим образом. Отыщем на нашем масштабе две близкие точки деления, так чтобы одна из них совпадала с концом А, а вторая — с другой точкой Р кривой К, причем так, чтобы еще и третья точка дуги АР эллипса попала на дугу АР кривой К.

Рис. 47.

Практически это означает, что обе дуги совпадают друг с другом. В этом случае обычная длина дуги и кривизна в каждой точке дуги эллипса и дуги кривой мало отличаются; поэтому эти две дуги имеют также одну и ту же аффинную длину, которая прямо указывается нашим масштабом (рис. 48). Аналогичным способом может быть измерена аффинная длина следующего куска кривой и т. д.

Перечислим теперь несколько свойств аффинной длины, которые можно доказать следующим образом. Проверяют соответственное утверждение В сначала для дуги единичной окружности. Отсюда сразу следует, что В имеет место как для дуги единичного эллипса, так и для выпуклой дуги кривой состоящей из конечного числа v дуг единичного эллипса. То, что свойство В справедливо также и для любой достаточно гладкой выпуклой дуги кривой К, получается с помощью предельного перехода, связанного с апроксимацией дуги К последовательностью ломаных, составленных из дуг единичных эллипсов.

На деталях подобных доказательств мы здесь не будем задерживаться.

Заметим еще, что дуга кривой К называется выпуклой, если она вся принадлежит границе R своей выпуклой оболочки. Так как в этом случае аффинные длины К и R совпадают, то мы можем рассматривать R вместо К? Поэтому достаточно сосредоточить наше внимание на замкнутых овалах.

Пусть Е — ограниченная кривой К выпуклая фигура, границей которой служит кривая К аффинной длины «аффинный периметр» Е).

Рис. 48.

Рассмотрим две опорные прямые ОА и ОВ кривой К (А и В — точки кривой); треугольник ОАВ обозначим через . Заставим треугольник скользить вдоль кривой К так, чтобы площадь треугольника оставалась постоянной. Рассмотрим кривую, описанную точкой О, и кривую, огибаемую стороной АВ, и обозначим фигуры, которые ограничивают эти кривые, через соответственно Их можно рассматривать как внешнюю, соответственно внутреннюю, «аффиннопараллельные» оболочки фигуры Е. Имеет место следующее замечательное соотношение, аналогичное введению обычной длины по Минковскому

Пусть, далее, -угольник максимальной площади, вписанный в фигуру Е, и - описанный -угольник минимальной площади. Тогда имеем

и, следовательно,

Эти соотношения можно заменить следующим. Если есть -угольник, расстояние по площади которого от фигуры Е (см. § 1) является наименьшим, то

Эти равенства можно записать также в следующей формуле:

кроме того, справедливы также следующш аналогичные формулы:

где всюду берется -угольник с наименьшим возможным расстоянием по периметру или линейным расстоянием от фигуры Е.

Упомянем еще одно свойство аффинной длины дуги.

Оно состоит в том, что вершины вписанного -угольника наибольшей возможной площади (так же как и точки касания сторон описанного -угольника наименьшей площади) для больших значений распределены по дуге кривой, за меру которой принята аффинная длина дуги, почти равномерно. Точнее, если числа тех вершин Р которые лежат на двух дугах нашего овала, имеющих аффинные длины , то

С этим свойством аффинной длины дуги связано простое построение, позволяющее найти на кривой шкалу, приблизительно пропорциональную аффинной длине дуги. В двух соседних точках кривой проводят касательную, проходящую через и параллельную ей хорду проходящую через . Аналогичным образом, исходя из точек строим точку

Пусть, далее, — две выпуклые фигуры аффинных периметров . В фигуру Е впишем -угольник наибольшей площади, а в — -угольник наибольшей площади, причем N и выберем так, чтобы при данной сумме сумма площадей многоугольников была возможно большей. В таком случае

Для того чтобы получить отсюда определение аффинной длины дуги, достаточно выбрать в качестве единичный круг и считать

Опишем теперь около овала -угольник и соединим смежные точки касания; при этом кривая оказывается заключенной в области, образуемой треугольниками («цепь треугольников»). Если рассмотреть такую последовательность подобных областей, для которой неограниченно растет и стремится к нулю, то будем иметь:

Если выбирать точки деления так, чтобы треугольники были равновелики, то

где есть общая площадь всех треугольников. Эта последняя формула тесно связана с фигурирующей выше формулой

Упомянем еще следующее свойство аффинной длины. Пусть есть минимум суммы площадей треугольников, полностью покрывающих нашу кривую. Тогда

Для того чтобы проверить это соотношение для дуги единичного круга, достаточно обратить внимание на то, что в случае дуги окружности треугольников с наименьшей возможной суммой площадей - это равные равнобедренные треугольники, боковые стороны которых касаются дуги окружности в своих серединах (рис. 49) [43].

Рис. 49.

Если — такой треугольник и а — длина дуги, лежащей в части дуги единичного круга, то наше соотношение сводится к доказательству равенства

Это, однако, следует из того, что [44]

Вернемся теперь к определению аффинной длины какой-либо дуги конического сечения заключенной в треугольнике и касающейся прямых АО и ВО. Обозначим сегмент, ограниченный отрезком АВ и дугой К, через S и пусть . Если рассмотреть цепь из равновеликих треугольников, образованных хордами и касательными то величина стремится, очевидно, к не которому предельному значению, зависящему только от

Чтобы определить функцию , рассмотрим отдельно два случая, когда К есть эллипс и когда К есть гипербола, иными словами, когда и когда Мы начнем с первого случая и отобразим К с помощью эквиаффинного преобразования на дугу круга:

Простой расчет дает:

Отсюда получаем следующее параметрическое представление для функции при

В случае совершенно аналогично, отображая нашу гиперболу на равностороннюю гиперболу

можно получить:

— есть вогнутая функция, заданная в интервале (0,1) и обращающаяся в нуль в концах интервала (рис. 50); она достигает максимума 1 при , т. е. для дуги параболы . То же самое, естественно, относится и к аффинной длине

дуг конических сечений рассматриваемых как функция от q. Заметим, в частности, что для дуги параболы

Рис. 50.

Бляшке в своей книге [3] вводит аффинную длину сначала просто как интеграл , а затем с помощью предельного соотношения и при определенных условиях регулярности строго доказывает эквивалентность обоих определений. В основу наших последующих рассмотрений мы положим определение аффинной длины дуги с помощью цепи треугольников.